SCVEAMER · VERSION 1.5

TeXで書いて、ブラウザで講義する

SCVeamer version 1.5
多変数函数論可視化特化型Beamer的HTMLスライドエディター

version 1.5(2026年11月6日) · 動画とウェブページを組み込めるようになりました. PDF処理方式はpypdf+pypdfium2/PDFiumを引き継ぎ, 同梱HTMLは横2560pxのPNG方式です. 新機能の使い方 · 時刻の設定 · 更新の手順

起動すると、内蔵の「集中講義1日目」が自動で開きます。TeX原稿を編集し、PDFと対話HTMLを作り直すための編集キットです。

普段の執筆はBeamerのまま。画面のボタンで変換し、数式のページと操作できる図を一つのHTMLにまとめます。

SCVeamer version 1.5・ソース配布

ローカルMP4とウェブページの組込み, 標準の扉ページ, 位置を固定したページ送りを加えました. 同梱の1日目にはウェブページを表示する1枚を追加し, 動画ファイルは同封していません.

新機能の使い方 · 1.5の変更点 · 1.5の検証記録 · 制作と確認の範囲

使い始める前に

利用前の注意、制作と確認の範囲、現在のライセンス方針をお読みください。重要な原稿をバックアップし、最初はサンプルや原稿のコピーでお試しください。

講義資料・テンプレート・スターターを、このキットに内蔵しました。

別のZIPをダウンロードしたり、初回に資料フォルダを指定したりする必要はありません。初回は「集中講義1日目」の作業用コピーを自動で作って開き、同じversion 1.5の次回起動では、前回使っていた有効な原稿を再開します。内蔵資料を切り替えても、編集中の原稿を元の見本で上書きしません。

原稿を編集・保存 → 「TeXからHTMLを作成」 → 完成HTMLを開いて確認

TeXを保存しただけでは、完成済みのHTMLは変わりません。生成が成功したことを確認してから、ブラウザで開き直すか再読み込みします。

1. 初回準備

1編集キットを展開する

ZIPを右クリックして「すべて展開」し、展開先を開きます。scveamer.py、engine/、bundled/、このマニュアルなどの位置関係を保ってください。ZIPを開いて中を眺めたまま実行するのでなく、展開したフォルダで使います。

以前のキットを使っている場合は、新しいZIPを旧キットとは別のフォルダへ展開してください。前の原稿を続けて編集する方法は、下の「更新・移行」にあります。

2PythonとTeXを確認する

必要なもの役割・確認方法
Python 3.11以上編集画面と変換プログラムを動かします。GUI用のTkinterが必要です。既に使っている通常のCPython環境があれば、まずそれで試してください。
日本語LuaLaTeXが使えるTeX環境TeX原稿から生成するときに、Beamerの数式・日本語・定理環境をPDFに組版します。既存のPDFだけをHTMLへ変換する場合には不要です。既存資料はLuaLaTeX用です。TeX Liveなどを既に使っていれば、入れ直す必要はありません。
pypdf 6.10.0・pypdfium2 5.14.0・Pillow 12.3.0PDFを読み取り、HTML用の数式・ページ画像などを作ります。下記の「初回準備」ボタンで、このキット専用の環境へ導入できます。

Python・TeX本体は、このソース版キットには含まれていません。必要な場合は Python公式サイトと TeX Live公式案内から導入します。Pythonの通常インストールで選択項目がある場合は、pipとTcl/Tk・IDLEを含めます。PythonのWindows向け説明

Tkinterの確認だけをしたい場合は、ターミナルで py -m tkinter を実行します。小さな確認画面が開けば使えます。公式説明

3編集画面を起動する

Windowsでは、展開したフォルダの START_WINDOWS.cmd をダブルクリックできます。初回のライブラリ準備だけを行う SETUP_WINDOWS.cmd も用意しました。以下のPythonコマンドからも同じ機能を使えます。

scveamer.py が見えているフォルダで、エクスプローラー上部のアドレス欄に powershell と入力して Enter を押します。開いたターミナルで、次の1行を入力してください。

py scveamer.py

py が使えず python が使える環境なら、先頭を python に替えます。Pythonファイルの関連付けが設定されていれば、scveamer.py のダブルクリックでも起動できます。うまく起動しないときは、ターミナルから実行するとエラーを読めます。

4自動で開いた原稿を確認する

初回は、内蔵の「集中講義1日目」が選ばれています。作業用コピーを初回だけ作り、その場所を画面の「作業先」欄に表示します。続けて「環境を確認」を押します。

画面の内蔵資料の選択欄から、「集中講義1日目」「テンプレートv2」「新規講演スターター」を切り替えられます。各原稿はそれぞれの作業先に保存され、再び選ぶとその続きを開きます。

使い方通常の作業原稿の保存先
Python版キット直下の workspace/。1日目は workspace/day1/、v2は workspace/template-v2/、スターターは workspace/starter/。
exe版実行ファイルと同じ場所にある workspace/ の各原稿フォルダ。
上記の場所へ書き込めない場合ユーザーホーム内の SCVeamer/workspace/version-1.5/。切り替わった保存先は画面とログで確認できます。

実際の場所を開くには「フォルダを開く」を押します。TeX原稿と生成したHTML・PDFはこの作業先に置かれます。bundled/ やキット内の元見本を直接編集する必要はありません。

5pypdf・pypdfium2・Pillowを準備する

pypdf・pypdfium2・Pillowが未導入の場合は、「初回準備(ライブラリの導入)」を押します。キットの中に .venv という専用のPython環境を作り、pypdf 6.10.0・pypdfium2 5.14.0・Pillow 12.3.0を取得します。この操作にはネット接続が必要です。Python本体・TeX本体のインストールはしません。

準備が終わると、その環境で編集画面が起動し直します。次回も同じ py scveamer.py で起動できます。用意した .venv は自動で選ばれます。

このキットは専用環境のPythonを直接呼び出すため、Activate.ps1 を実行する手順はありません。仮想環境は移動先で作り直す仕組みなので、キットを別のPCへ移すときは .venv を配布せず、そのPCで初回準備を行います。Pythonのvenv説明

6TeXが見つからない場合だけ、場所を指定する

LuaLaTeXを自動で見つけられない場合は、「TeX実行ファイルのフォルダ」に、lualatex.exe のあるフォルダを指定します。TeX Liveなら、たとえば次のような場所です。年やドライブは、ご自身のインストール先に合わせてください。

C:\texlive\2026\bin\windows

lualatex.exe 自体や原稿フォルダではなく、それを含むフォルダを指定します。指定後にもう一度「環境を確認」を押してください。

7一度生成してみる

「TeXからHTMLを作成」を押します。ログに成功が出たら、「HTMLを開く」を押してください。TeXや必要なパッケージがそろっていれば、以後の通常の生成と, 通常のスライド・組込みゲーム・ローカル動画の閲覧はオフラインでできます. ウェブページの表示にはネット接続が必要です.

初回のLuaLaTeXで、次の2行が出た場合
Font names database not found, generating new one.
This can take several minutes; please be patient.

これはフォント名のデータベースを作っている案内で、この2行自体はエラーではありません。初回は数分かかることがあるので、まず完了まで待ちます。作成できれば以後は保存済みの情報を再利用します。TeXworksの実行中に出る赤い×は処理を停止するボタンで、エラー表示ではありません。

出典:luaotfloadのデータベース処理、TeXworksの実行・停止ボタン処理。

2. 最初の編集を試す

初回に自動で開いた「集中講義1日目」で試せます。編集するのは workspace/day1/ の作業用コピーなので、内蔵の元見本はそのまま残ります。画面の「作業先」で編集先を確認してください。

  1. 「原稿を編集」から talk.tex を開きます。お使いのTeXエディターで直接開いても構いません。
  2. 副題の行を見つけ、たとえば次のようにします。
    \subtitle{多変数の複素解析(編集の練習)}
  3. Ctrl + S で保存します。
  4. 編集キットへ戻り、「TeXからHTMLを作成」を押します。
  5. 成功したら「HTMLを開く」を押し、表紙の副題を確認します。開いていたタブを見る場合は再読み込みします。

これが普段の編集手順です。短い原稿から始めたい場合は、内蔵資料の選択欄を「新規講演スターター」に切り替えます。青テーマの6枚の原稿で、普通のBeamerページ、定理環境、\pause、固定例の挿入を試せます。この選択は、すでに編集しているスターターがあればその続きを開きます。

別の講演として、まっさらなスターターをもう一つ作りたい場合は、「新しい原稿を作る」を使います。空の新しいフォルダへ作り、名前と保存先はご自身で選びます。

スターターには、最初の見本として生成済みのHTML・PDFと、配色見本 THEMES.html、固定例一覧 EXAMPLES.html も入っています。まず見本を開いて確認でき、原稿を編集した後は同じ手順で再生成します。

完成HTMLは生成物です。

通常の数学本文はTeXを編集します。index.html を直接書き換えると、次の生成時にその変更が置き換わります。

更新・移行:以前の原稿を続けて編集する

version 1.5は、新しいZIPを旧キットとは別のフォルダに展開して使います。これまで編集した原稿は、その場所に保管したまま続けて使えます。

  1. 新しいZIPを、旧キットとは別のフォルダへ「すべて展開」します。
  2. START_WINDOWS.cmd、または新しいフォルダで py scveamer.py を実行します。
  3. version 1.5の初回は、改訂済みの「集中講義1日目」を作業コピーへ複製して開きます。旧版で編集中の原稿を続ける場合は「自分の原稿フォルダを開く」で、以前の talk.tex が直接入っているフォルダを選びます。画面の「作業先」で実際の編集先を確認してください。
  4. 「環境を確認」を押し、必要なら「初回準備(ライブラリの導入)」を実行します。専用環境 .venv はキットのフォルダごとに用意します。
  5. 「TeXからHTMLを作成」を押し、成功後に「HTMLを開く」で確認します。従来のプレイヤー操作・曲面表示を保ち、PDFページをPNG方式で再生成します。

version 1.2より前の原稿に終了予定時刻を追加する場合は、原稿をフォルダごと複製してから、新キットの starter/theme/holotalk-games.sty を、その複製の theme/holotalk-games.sty へコピーします。そのうえで、次節の時刻・分数コマンドをTeXに加えます。原稿のテーマを独自に変更している場合は、元のファイルも保管してください。新しい内蔵資料には、対応するテーマが入っています。

今回の改訂済み「集中講義1日目」をすぐに試せます

完成見本は新キットの bundled/day1/index.html です。version 1.5の初回起動でも、この改訂済み原稿から作業コピーを自動で用意します。旧版の原稿と設定はそのまま保管します. TeXの場所が自動で入らない場合は, もう一度指定してください. 次回からはversion 1.5で最後に使った原稿を再開します。

PDF処理は1.4で採用した方式を引き継ぎます. 生成HTMLの製品バージョンは1.5です. 動画とウェブページを使う資料は1.5のプレイヤーで生成します. 新しい命令とテーマを旧原稿へ加える方法

旧名の holotalk_editor.py は互換用の入口です。通常は scveamer.py またはWindows用の起動ファイルを使ってください。

3. TeXのどこを編集するか

動画・ウェブページ・セクションの扉については, 1.5の追加機能を参照してください.

変更したいこと編集する場所
題名・副題・講演者・配色talk.tex。講義全体を改題する場合は、下部の \holofooter、\hypersetup のPDF情報、lecture-plan.json の見出しも確認します。
1日目の数学本文talk.tex。「本文ここから」より後に数学本文をまとめました。模式図はTikZで, 添付図は画像ファイルで挿入しています.
テンプレートv2の本文talk.tex の \begin{document} より後。1枚は原則として frame 環境一つです。
図・画像assets/ に入れ、TeX側の \includegraphics で指定します。
開始時刻・1枚にかける時間talk.tex の \scvstarttime と \scvminutes。詳しくは 次の節。
補足見出し・講師メモlecture-plan.json。今回の1日目は、目次名と緑陰図の画面文だけを残し、メモを入れていません。
1日目の対話UIページのPDF用説明talk.tex 上部の SCVprint@... の定義。静止図は assets/*.pdf です。

配色を選ぶ

talk.tex のプリアンブルで、次の1行を使います。blue・red・yellow から一つを指定します。

\holocolors{blue}

青は最初のHolomorphonautica配色、赤はホームページに合わせた赤紫、黄はもとのBeamerに寄せた黄橙の配色です。資料内の THEMES.html に見本があります。変更後は再生成してください。

普通のページと段階表示

数学のページは普段のBeamerと同じです。\pause の後は、HTMLでも次送りで表示されます。

\begin{frame}{ここで観察したいこと}
  \begin{itemize}
    \item まず、対象を式で定める。
    \pause
    \item 切り口を動かし、見え方を比べる。
    \pause
    \item 観察を判定条件と結び付ける。
  \end{itemize}
\end{frame}

定義・定理・証明

definition、theorem、lemma、proposition、corollary、example、remark、question、proof を使えます。

\begin{frame}{簡単な例}
  \begin{example}
    $u(z)=|z|^2$ は $\mathbb C$ 上の劣調和関数である。
  \end{example}
  \pause
  \begin{proof}
    $z=x+iy$ と書くと、$u(x+iy)=x^2+y^2$ だから
    $\Delta u=4>0$ である。
  \end{proof}
\end{frame}

固定例の対話UIを挿入する

基本は、TeX原稿に次の1行を入れるだけです。

\exploreframe{sh}{std-b03}{鞍型のグラフを観察する}

お渡しした講義原稿・テンプレート・スターターでは、この命令はすでに読み込まれています。この例では Subharmonic? のUIで、登録済みの関数 u(z)=Re(z²)=x²−y² を表示します。ランダムに出題せず、この関数を動かして観察し、「問題」と「解答・解説」を切り替えられます。

普通のスライドの間に置く

\begin{document} と \end{document} の間で、表示したい位置へ入れます。たとえば「式で導入 → 図を操作 → 式で確認」の3枚は、次のように書けます。

\begin{frame}{まず、関数を式で見る}
  $z=x+iy$ として
  \[
    u(z)=\operatorname{Re}(z^2)=x^2-y^2
  \]
  を考える。このグラフはどのような形だろうか。
\end{frame}

\exploreframe{sh}{std-b03}{鞍型のグラフを観察する}

\begin{frame}{観察したことを式で確認する}
  \[
    \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=2-2=0.
  \]
  したがって、この関数は調和である。
\end{frame}
\exploreframe 自体が1枚のスライドを作ります。

\begin{frame} ... \end{frame} で囲まず、上の例のように普通の frame と frame の間へ書いてください。

三つの引数の意味

\exploreframe{UIの種類}{例のID}{ページの見出し}
引数何を書くか例
1番目使用するUI。劣調和は sh、多重劣調和は psh、領域の緑陰図は ryokuinzu。sh
2番目そのUIに登録されている関数・領域のID。数式そのものを書く欄ではありません。std-b03
3番目スライドの見出し。講義に合わせて自由に書き換えます。鞍型のグラフを観察する

IDは大文字・小文字を区別します。たとえば N01 は n01 とは異なります。本マニュアル末尾の全例一覧、または資料フォルダの EXAMPLES.html から、UIの種類とIDを組にして選んでください。

そのまま使える8例

下は、1日目の講義で使った8例です。表示したいものの1行をコピーし、3番目の見出しだけ変えても使えます。

劣調和関数:sh

% Re(z²)=x²−y²:調和関数の鞍型
\exploreframe{sh}{std-b03}{鞍型のグラフを観察する}

% −|z|²:劣調和でない山型
\exploreframe{sh}{std-b02}{山型のグラフと円周平均}

% max(0,Re z):折れ目のある劣調和関数
\exploreframe{sh}{std-i02}{折れ目があっても劣調和}

多重劣調和関数:psh

% |z|²+|w|²:狭義多重劣調和の基本例
\exploreframe{psh}{N01}{複素直線への制限を観察する}

% |z|²+|w|²−4Re(z w̄):座標方向だけでは見落とす非例
\exploreframe{psh}{A03}{座標方向だけでは分からないこと}

領域の緑陰図:ryokuinzu

% C²の単位開球
\exploreframe{ryokuinzu}{lecture-ball}{開球の切り口を見る}

% C²の単位双円板
\exploreframe{ryokuinzu}{lecture-polydisc}{双円板の切り口を見る}

% Hartogs図形
\exploreframe{ryokuinzu}{n18}{Hartogs図形の切断を観察する}

lecture-ball と lecture-polydisc は1日目の講義用に追加した例です。現在の編集キットにはこれらのデータも含まれます。

問題中は式を隠したい場合

通常は、関数・領域の定義式を最初から示し、判定と理由を「解答・解説」で表示します。式も観察後に見せたい場合は、[formula=hide] を付けます。

\exploreframe[formula=hide]{sh}{std-b02}{この関数は劣調和だろうか}

英語のUIを使う場合は [lang=en]、両方を指定する場合は [formula=hide,lang=en] と書けます。

1日目の原稿:PDF用の静止図も指定する

1日目の talk.tex には、PDF用の図と説明を指定しやすくする \observeframe を定義してあります。

\observeframe{ryokuinzu}{lecture-ball}
  {開球:切り口の円板が縮む}{fibers-ball}

最初の三つは \exploreframe と同じです。4番目の fibers-ball は、PDF用本文 assets/print/fibers-ball.tex の名前です。例のIDをもう一度書く欄ではありません。この命令は、1日目の設定では次の書き方に相当します。

\exploreframe[formula=show,lang=ja,
  print={\input{assets/print/fibers-ball.tex}}
]{ryokuinzu}{lecture-ball}{開球:切り口の円板が縮む}
例のIDを変えても、PDFの図は自動では変わりません。

HTMLで表示する関数・領域と、PDF用の図・説明は別々に指定します。例を変更したら、PDF用の print 指定(今回の1日目では talk.tex 上部の SCVprint@...)、そこで読み込む図、メモを使う場合はその内容も同じ例に合わせてください。

\observeframe は1日目の原稿で定義した専用の短縮命令です。また、旧テンプレートv2のスタイルには print={...} オプションがありません。旧v2へそのまま持ち込む場合は、まず共通の基本形 \exploreframe{UI}{ID}{見出し} を使ってください。

書いたあとは、保存してHTMLへ変換する

  1. TeX原稿を保存します。
  2. 画面の「作業先」が編集中の原稿の場所であることを確認し、「TeXからHTMLを作成」を押します。
  3. 成功表示を確認してから、完成した index.html を開くか、ブラウザを再読み込みします。

lecture-plan.json を使っている場合は、対話UIのページも1枚のスライドとして数えます。ページを追加・削除・並べ替えしたら、メモや時間配分の slide 番号を合わせてください。同じ位置で例だけ替える場合も、説明メモは新しい例へ合わせます。調整中は補足データの使用を外して生成できます。TeXに直接書いた開始時刻・分数は、その設定とは独立して反映されます。詳しくは次の節をご覧ください。

4. 終了予定時刻と講師メモ

開始時刻と、1枚にかける時間をTeXに書く

version 1.5では、画面右下のメモ付近に現在のスライドを終える予定の時刻を常時表示できます。ボタンを押す必要はありません。まず talk.tex のプリアンブルで、テーマを読み込んだ後に開始時刻を1行書きます。

\scvstarttime{14:55}

普通のスライドでは、frame の中の最初に予定分数を書きます。

\begin{frame}{劣調和関数の定義}
  \scvminutes{3}
  定義をここに書く。
  \pause
  例をここに書く。
\end{frame}

固定例の操作ページでは、minutes オプションを使います。

\exploreframe[minutes=3,formula=show,lang=ja]
  {sh}{std-b02}{山型のグラフと円周平均}

このコマンド自体が1枚を作るので、frame 環境で囲みません。既に print={...} を指定している場合は、同じオプション欄へ minutes=3 を加えます。

設定・操作表示の意味
14:55開始、1枚目2分、2枚目3分1枚目は「終了予定 14:57」、2枚目は「終了予定 15:00」です。
\pause、戻る、目次から移動予定時刻は論理スライドごとに決まります。途中表示では変わらず、戻ればそのスライドの予定時刻に戻ります。操作ページも1枚です。
開始時刻を書かない/\scvstarttime{}予定時刻を表示しません。分数だけが残っていても、時計表示は出ません。
開始時刻はあるが、途中の分数がない誤った予定時刻を出さないよう、変換時に不足のあるスライドを知らせます。全スライドに分数を設定してください。
以前の duration_minuteslecture-plan.json の分数も利用できます。同じスライドにTeXの分数がある場合は、TeXを優先します。

開始時刻は24時間制の HH:MM、分数は0以上の数値です。これは計画上の終了時刻で、実際に話し始めた時刻を自動で記録したり、カウントダウンしたりする機能ではありません。開始が遅れたときは、プリアンブルの開始時刻を変更して再生成します。

今回の「集中講義1日目」

14:55開始, 47枚・合計135分, 最終スライドの終了予定17:10に設定しています. 従来の46枚の後に, プロジェクトのウェブページを表示する1枚(0分)を加えています. 講師メモは含めておらず、メモボタンも出ません。各ページ下部の講義名・システム名の文字列も外しています。画面右下の終了予定時刻は、そのまま確認できます。

講師メモを使う資料では

メモ機能は引き続き使えます。lecture-plan.json に各スライドの補足データを記述し、編集画面で「補足データを使用(見出し・問い・講師メモ)」を選びます。代表的な項目は次のとおりです。

項目意味
slide1から始まる論理スライド番号。\pause の表示段階は別に数えません。
titleHTMLの目次で使う短い見出し。省略時はPDFの見出しを使います。
duration_minutesそのスライドの予定分数。TeX側で設定する場合は省略できます。
notes講師メモ。改行はJSON文字列の中では \n と書きます。メモがなければ省略できます。
prompt / observation緑陰図の画面に出す問い・観察文。例のIDはTeXで指定します。

補足データにスライド番号を書いた場合は、スライドを増減・並べ替えしたときに対応も直します。TeXの \scvminutes は本文と一緒に移動するため、その分数の番号を別ファイルで直す必要はありません。

資料ごとにメモを無効にするには、presentation.json に "speaker_notes": false を設定します。このときHTMLにはメモ本文を入れず、講師ガイドも作りません。開始時刻の表示は独立して使えます。メモを使う資料ではこの設定を省略するか true にします。

メモを有効にして計画を適用した資料では CURRENT_TEACHING_GUIDE.html を生成します。以前の TEACHING_GUIDE.html は自動更新しません。メモを無効にした後に古いガイドが残っていても、その内容を最新の原稿用とは扱わないでください。

画面に表示するメモと時刻

メモボタンや N で開くメモ、右下の終了予定時刻は、どちらも現在の投影画面に映ります。メモだけを手元で読みたい場合は、講師ガイドを別端末・別画面・印刷物で使います。

下部の文字列を資料ごとに外す

PDFの各ページにある講義名などの文字列は、プリアンブルで \renewcommand{\holofooter}{} とすると空になります。ページ番号は残してください。HTML下部にはシステム名・スライドタイトル欄を常設しません. presentation.json の show_brand は旧設定を読み込むために残していますが, 1.5の表示には影響しません.

5. 編集画面のボタン

ボタン・設定行うこと
内蔵資料の選択欄「集中講義1日目」「テンプレートv2」「新規講演スターター」を切り替えます。作業先が未作成のときだけ元見本をコピーし、再び選ぶと編集の続きを開きます。
作業先/フォルダを開く実際に編集・生成する原稿フォルダを表示し、エクスプローラーなどで開きます。
自分の原稿フォルダを開く任意の外部原稿を使う場合の操作です。talk.tex が直接入っているフォルダを指定します。
環境を確認Python・変換ライブラリ・TeX・原稿などを確認し、ログへ結果を出します。
初回準備(ライブラリの導入)キット専用の .venv を準備し、必要なPythonライブラリを取得します。初回のネット接続が必要です。
TeXからHTMLを作成TeXを組版してPDFと対話HTMLを作ります。配布PDFの設定がある場合は配布PDFも生成し、講師メモを有効にして補足データを使う場合はガイドも更新します。
既存PDFからHTMLを作成すでに作成したPDFから変換します。TeXのコンパイルはしません。
HTMLを開く/PDFを開く完成ファイルを既定のブラウザ・PDFビューアーで開きます。
ガイドを開くメモを有効にして生成した CURRENT_TEACHING_GUIDE.html を開きます。今回の1日目はメモ無効のため、ガイドを使いません。
原稿を編集編集対象の原稿を開きます。普段のTeXエディターで直接開いても構いません。
新しい原稿を作る別の講演を始めるために、まっさらなスターターを新しい保存先へ作ります。編集中のスターターの再開は、内蔵資料の選択欄から行えます。
マニュアルこの説明を開きます。
クレジットCREDITS.html を開き、研究プロジェクト、システム全体の共同開発、同梱素材と利用ソフトウェアの出典を確認できます。
TeX実行ファイルのフォルダ自動検出できない場合に、LuaLaTeXなどがある場所を指定します。

標準の生成物は、index.html(投影・操作用)と talk.pdf(Beamerの全表示段階)です。1日目の資料・新しいスターターなど、配布PDFの設定がある原稿では handout.pdf(各スライドの最終表示)も作ります。旧テンプレートv2の既定設定では、PDFは talk.pdf のみです。講師メモを有効にして補足データを使う場合は CURRENT_TEACHING_GUIDE.html も生成します。今回の1日目では生成しません。ファイル名の設定を変更した原稿では、その設定が使われます。

生成に失敗したときは、以前の完成ファイルを保つ仕組みです。画面に古い内容が見える場合は、まず最新の生成が成功しているかをログで確認します。

6. 普段の方法で作ったPDFから変換する

TeXのコンパイルを、いつものTeXエディターで行いたい場合に使う方法です。

  1. 画面の「作業先」にある talk.tex を普段の方法でコンパイルし、同じ場所の talk.pdf を更新します。
  2. 編集キットの「作業先」が、その原稿の場所であることを確認します。外部原稿の場合だけ「自分の原稿フォルダを開く」で選びます。
  3. 「既存PDFからHTMLを作成」を押します。
  4. 成功したら完成HTMLと、配布PDFを生成する設定の場合はそのPDFも確認します。

この操作はTeXをコンパイルしません。PDF自体が古ければ、HTMLも古い内容になります。また、対話UIに切り替わるページは、\exploreframe などがPDFへ埋め込んだ識別情報から判定します。普通のPDFを入れただけで、図が自動的に対話UIへ変わるわけではありません。

別の講演のPDFへ差し替える場合は、古い講師メモが別のページへ付かないよう、lecture-plan.json を新しい原稿へ合わせるか、講師計画を使う設定を外してください。

7. 任意:Windowsの実行ファイルにする

このキットはソース配布です。以下は実行ファイル化のための手順案であり、exeの作成・実行を確認済みという意味ではありません。実際に配布する際は、そのビルドの動作と同梱する第三者のライセンス表示を確認してください。

PythonプログラムをWindowsの .exe にする用途なら、PyInstallerが使えます。このキットにも専用の設定ファイルを用意しています。まずPython版で動作を確かめ、そのあと実行ファイル化する順番を勧めます。

exeへ同梱するもの

Python、GUI、pypdf・pypdfium2・Pillow、HTML変換プログラム、対話UIの素材、3種類の内蔵資料など。正しく作れれば、実行する側にPythonを別途入れる必要はありません。

別に必要なもの・保存するもの

TeXから作る場合は、exe化後もLuaLaTeXなどのTeX環境が必要です。編集する原稿は workspace/ の作業用コピーへ保存します。

PyInstallerは実行に必要なPythonとモジュールを同梱します。Windows向けはWindows上で作成します。PyInstaller公式説明

Windowsで作る手順

まずこのキットの初回準備を済ませ、Python版で生成できることを確認してください。その後、キットのフォルダでターミナルを開き、次の順に実行します。

.\.venv\Scripts\python.exe -m pip install -r requirements-build.txt
.\.venv\Scripts\python.exe -m PyInstaller --clean SCVeamer.spec

できた dist\SCVeamer\ の中にある SCVeamer.exe を起動します。この設定は、exeと補助ファイルを一つのフォルダへまとめる onedir方式です。exeだけを抜き出さず、フォルダ全体を保って使ってください。

デスクトップから使いたい場合は、exeを移動する代わりにショートカットを作れます。初回に内蔵資料の作業用コピーをexeの隣の workspace/ へ作ります。書き込めない場合はユーザーホーム内へ保存し、画面の「作業先」に実際の場所を表示します。

exe版にはPythonとpypdf・pypdfium2・Pillowを同梱するため、使用先でのPython用「初回準備」は不要です。起動すると内蔵資料が開くので、必要ならTeXの場所を指定して使います。exeを作った後でPythonソースを変更した場合は、exeももう一度作り直してください。

今回は、同梱ファイルを確認しやすいonedir方式にしています。1ファイルへまとめるonefile方式もPyInstallerにはありますが、このマニュアルの手順はonedir用です。設定・オプションの公式説明

実行ファイル化と、ダウンロード時の検知は別の問題です。

exeにすれば検知が解消するとは保証できません。新しいファイルでも「ウイルスが検出されました」と出る場合は、Windowsセキュリティの保護の履歴に出る検出名と対象ファイル名を確認して、原因を切り分けます。

画面を使わず、コマンドから実行する場合

同じ scveamer.py をコマンドからも使えます。下の C:\work\my-lecture は例なので、実際の資料フォルダに替えてください。空白や日本語を含むパスも、二重引用符で囲みます。

py scveamer.py --check --project "C:\work\my-lecture"
py scveamer.py --build --project "C:\work\my-lecture"
py scveamer.py --pdf-only --project "C:\work\my-lecture"

初回準備だけなら py scveamer.py --setup です。TeXの場所を指定する場合は --tex-bin "C:\texlive\2026\bin\windows"、JSONの補足データを使わない場合は --no-plan を加えます。この指定でも、TeXから読み取った開始時刻・分数は使われます。既存の日本語原稿ではLuaLaTeXを使います。

Windows用には、BUILD.cmd(TeXから変換)、PDF_TO_HTML.cmd(既存PDFから変換)もあります。ダブルクリック時は前回の有効な作業先を使用します。特定の原稿を指定する場合は、たとえば BUILD.cmd --project "C:\work\my-lecture" と実行します。

8. 困ったとき

症状確認すること
ダブルクリックしても画面が出ないターミナルで py scveamer.py を実行し、表示されたエラーを読みます。py が見つからなければPythonの導入・起動コマンドを確認します。
tkinter がないPythonのTcl/Tk・IDLEを含む構成が必要です。py -m tkinter で確認します。GUIを起動できるPythonで初回準備を行ってください。
pypdf・pypdfium2・Pillowが見つからない「初回準備(ライブラリの導入)」を実行し、終了後に起動し直した画面を使います。別のPython環境で起動していないか、ログを確認します。
LuaLaTeXが見つからないTeX環境が入っているか確認し、「TeX実行ファイルのフォルダ」に lualatex.exe のある場所を指定します。
Windowsで、原稿を読み込む前に Undefined control sequence と出る修正リリース1.0.1で、WindowsでTeX原稿を渡す際のパス表記を修正しました。更新・移行の手順に沿って更新し、同じ原稿で「TeXからHTMLを作成」を再実行してください。
初回のフォントDB生成で止まったように見える初回のフォント情報を作る2行は、それ自体ではエラーではありません。数分かかることがあるので、まず待ちます。正常に作れれば、以後は保存済みの情報を再利用します。TeXworksの赤い×は停止ボタンです。別のエラーが続いて出た場合は、その文面を確認してください。
日本語フォント・TeXパッケージのエラーログの最初のエラーを確認します。既存資料にはLuaTeX-ja、Beamer、原ノ味フォントなどを使っています。普段のTeXエディターで同じ talk.tex がLuaLaTeXで通るかを先に確かめられます。
PDFを保存・置換できないPDFビューアーでそのファイルを開いている場合は、閉じてからもう一度生成します。原稿フォルダが書き込みできる場所にあることも確認します。
保存したのにHTMLが変わらない画面の「作業先」にある原稿を保存したか、生成が成功したか、開いているHTMLがその場所のものか、ブラウザを再読み込みしたかを順に確認します。bundled/ 内の元見本を編集していないかも確認します。
以前編集していた原稿が見えない旧キットの workspace/ または以前に指定した原稿フォルダを確認し、「自分の原稿フォルダを開く」でその原稿を選びます。保存先が変更された場合は画面とログにも表示されます。
固定例のIDがないと言われる末尾の一覧表または資料の EXAMPLES.html でIDを確認します。種類 sh・psh・ryokuinzu とIDの組合せ、大文字・小文字を確認してください。
終了予定時刻が出ない新しいテーマを使い、\scvstarttime{14:55} と全スライドの分数を設定したか確認します。TeXを保存してから、version 1.5で再生成してください。
円周を試すと曲面が薄いまま以前のHTMLには旧UIが入っています。version 1.5でHTMLを作り直し、そのファイルを開き直してください。
目次・メモが違うスライドに出るlecture-plan.json の番号対応を更新します。同枚数で順番だけ替えた場合も手動で合わせます。調整中は講師計画を使う設定を外せます。
別PCへ持っていったら動かないソース版では、そのPCにPythonとTeXを用意し、初回準備を行います。.venv はPC間で使い回しません。exe版ではexeだけでなく、onedirフォルダ全体を移します。

エラーを確認する・ログを送る

TeXの処理で止まった場合は、エラー画面に出るTeXエラーの要約と、画面のログを確認します。詳しく調べるときは、「フォルダを開く」から現在の作業先を開き、.build/latest.log を、行った操作と一緒に送ってください。このログは再実行すると上書きされるので、送る分は先に別名で保存しておくと残せます。

新しいZIPのダウンロード自体が止まる場合は、検出名と対象ファイル名を確認してください。

9. 講義に持っていく・配布する

目的渡すもの
ブラウザで講義を見せるindex.html 1個。図の操作も含みます。閲覧する側にPython・TeX・ローカルサーバーは不要です。
静的な配布・印刷1日目の資料・新しいスターターなど、配布PDFの設定がある場合は handout.pdf。各スライドの最終表示を使います。旧テンプレートv2の既定設定ではPDFは talk.pdf のみです。
全表示段階をPDFで見るtalk.pdf。\pause による表示段階も含みます。
原稿を編集してもらうご自身で編集した場合は、画面の「作業先」にある原稿フォルダを、この編集キットと一緒に渡します。受け取った人は「自分の原稿フォルダを開く」から使えます。専用環境 .venv や一時生成フォルダは渡さず、各PCで準備します。

講義中は左右キー・Space・画面下のボタンでページを送れます。対話UIを操作したあと、スライド送りへ戻りたい場合は F2 を押します。全画面はプレイヤーのボタンかブラウザの F11 を使えます。

このマニュアルはSCVeamer version 1.5(2026年11月6日)の構成を説明しています. 今回の検証は1.5の検証記録を参照してください. 1.4のWindows 11での本人による利用確認は, 過去の公開用の補足記録に記載しています.

研究プロジェクトと共同開発

研究プロジェクト

SCVeamer version 1.5 は、「多変数函数論可視化特化型Beamer的HTMLスライドエディター」です。複素解析幾何学・多変数函数論の可視化と直観形成に取り組む Project Holomorphonautica の一環として作成しました。

研究課題AI支援可視化による多変数函数論の幾何学的直観形成
研究事業文部科学省 AI for Science萌芽的挑戦研究創出事業(SPReAD)
採択期間2026年6月–2027年1月
研究代表小池貴之(筑波大学数理物質系)
プロジェクトの愛称Project Holomorphonautica

SCVeamer システム全体の共同開発

小池貴之と Kyoka Marui / 丸井 京香(東北大学)、Masakazu Takakura / 髙倉 真和(東京都立大学)、Ryo Uchimoto / 内本 諒(九州大学)との共同開発です。

この共同開発クレジットは、3つの対話UI、編集画面、変換エンジン、スライドプレイヤーを含むシステム全体に対するものです。

3つのゲームの共同構想

丸井 京香・髙倉 真和・内本 諒・小池 貴之による、複素解析幾何の3D VR可視化で何をどう観察し、何を理解したいかという議論から、「見る側の練習」を楽しいゲームにする発想が生まれました。Subharmonic?、Plurisubharmonic?、緑陰図 — Pseudoconvex? は、この共同構想に基づいています。

実装支援

ChatGPT(ちゃぴおくん)を、コーディング・文書作成の支援に使用しました。

利用するソフトウェア

ソフトウェア役割・公式案内
Python・Tkinter編集画面と変換処理。Python / Tkinter
pypdf 6.10.0 / pypdfium2 5.14.0 / Pillow 12.3.0PDFの情報抽出、PNG描画、配布PDFのページ選択。第三者の条件は THIRD_PARTY_NOTICES.txt と licenses/ を参照。
TeX Live・Beamer・LuaTeX-ja等利用者のTeX環境で、日本語と数式を組版します。TeX Live / Beamer / LuaTeX-ja
PyInstaller任意の実行ファイル化に使います。公式サイト

このソース配布には、Python・pypdf・pypdfium2・Pillow・PyInstaller・TeX本体は含みません。各ソフトウェアの著作者・ライセンスは、それぞれの公式配布物に従います。対話UI内にある既存のクレジットも保持しています。

配色

blue は白地と青の見出し、緑のアクセントを使います。red は tkoike.com の見出し色 #9F166A を参照しています。yellow は元のBeamer / Metropolisの黄橙 #EB811B と濃い青緑 #23373B、背景 #FAFAFA を参照しています。

Project Holomorphonautica の公開ページ

10. 例のID一覧(全194例)

講義で使う例を、この表から選べます。種類とIDを組にして指定し、大文字・小文字もそのままコピーしてください。式をTeXで自由に入力して新しい関数を登録する方式ではなく、ここにある登録済みの例を呼び出します。

各行の「TeXをコピー」で1枚分の命令をコピーできます。原稿へ貼り付け、最後の中括弧にあるスライドタイトルをお好きなものに替えます。挿入する位置は、3節「固定例の対話UIを挿入する」の例をご覧ください。

Subharmonic? の −logモードについて

表の式と画面のグラフは u、判定・解説は −log u についてのものです。IDに対応するモードが自動で選ばれるので、TeXでは同じ \exploreframe{sh}{ID}{タイトル} を使います。

判定と説明は、この編集キットの固定例カタログに対応しています。式中の z は複素共役です。Green関数・Bergman核などを含む例の定義や近似の説明は、各行の「どんな例か」と、実際のUIの解答・解説で確認できます。初級・中級・上級は、元のゲームの区分です。

検索語を空白で区切ると、両方を含む例を探せます。印刷時は検索状態に関係なく、194例すべてを掲載します。

Subharmonic?:通常モード (78例)

グラフに描く関数 u 自身の劣調和性を調べる78例です。定義域は単位円板です。 使用する種類:sh

Subharmonic?:通常モード:ID・関数/領域・説明・判定
例のID関数・領域どんな例か判定
std-b01初級
u(z) = zz
複素 Hessian が単位円板全体で非負なので劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-b02初級
u(z) = −zz
単位円板内に複素 Hessian が負になる点があるため、劣調和ではありません。 u の劣調和性成り立たない
std-b03中級
u(z) = (z2 + z2)/2
この函数は調和函数です。複素 Hessian は恒等的に 0 であり、劣調和でもあります。 u の劣調和性成り立つ
std-b04中級
u(z) = (z3 − z3)/(2i)
この函数は調和函数です。複素 Hessian は恒等的に 0 であり、劣調和でもあります。 u の劣調和性成り立つ
std-b05初級
u(z) = (zz)2
複素 Hessian が単位円板全体で非負なので劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-b06初級
u(z) = zz − 2(zz)2
u_{z z̄}=1−8|z|² は |z|>1/√8 で負になります。中心から少し離れた円周に注目してください。 u の劣調和性成り立たない
std-b07初級
u(z) = 2(zz)2 − zz
u_{z z̄}=8|z|²−1 は原点の近く(|z|<1/√8)で負になります。 u の劣調和性成り立たない
std-b08初級
u(z) = zz + (z2 + z2)/2
複素 Hessian が単位円板全体で非負なので劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-b09初級
u(z) = zz − (z3 + z3)/2
複素 Hessian が単位円板全体で非負なので劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-b10中級
u(z) = zz(1 + (z + z)/2)
u_{z z̄}=1+2 Re(z) なので、Re(z)<−1/2 の部分で負になります。 u の劣調和性成り立たない
std-b11初級
u(z) = zz + (zz)3/2
複素 Hessian が単位円板全体で非負なので劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-b12初級
u(z) = −(z + z)/2
この函数は調和函数です。複素 Hessian は恒等的に 0 であり、劣調和でもあります。 u の劣調和性成り立つ
std-b13初級
u(z) = zz(1 − zz)
u_{z z̄}=1−4|z|² は |z|>1/2 で負になります。 u の劣調和性成り立たない
std-b14初級
u(z) = log(1 + zz)
複素 Hessian が単位円板全体で非負なので劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-b15初級
u(z) = −log(1 + zz)
単位円板内に複素 Hessian が負になる点があるため、劣調和ではありません。 u の劣調和性成り立たない
std-b16中級
u(z) = (z3 + z3)/2
この函数は調和函数です。複素 Hessian は恒等的に 0 であり、劣調和でもあります。 u の劣調和性成り立つ
std-b17中級
u(z) = zz · (z2 + z2)/2
u_{z z̄}=3(Re(z)²−Im(z)²) は |Im(z)|>|Re(z)| の領域で負です。 u の劣調和性成り立たない
std-i01初級
u(z) = max{log|z|, −2}
log|z| と定数の最大値なので劣調和。折れ目 |z|=e⁻² に正のラプラシアン測度が集中します。 u の劣調和性成り立つ
std-i02初級
u(z) = max{0, (z+z)/2}
0 と Re z の最大値。折れ目 Re z=0 に正のラプラシアン測度があります。 u の劣調和性成り立つ
std-i03初級
u(z) = min{0, (z+z)/2}
二つの調和函数の最小値です。折れ目 Re z=0 に負のラプラシアン測度があるため、劣調和ではありません。 u の劣調和性成り立たない
std-i04初級
u(z) = |(z+z)/2|
|Re z|=max{Re z,−Re z} は劣調和。正の測度は Re z=0 上にあります。 u の劣調和性成り立つ
std-i05初級
u(z) = −|(z+z)/2|
−|Re z| は折れ目に負の測度を持ち、非劣調和です。 u の劣調和性成り立たない
std-i06中級
u(z) = max{0, (z2 + z2)/2}
二つの調和函数の最大値なので劣調和。折れ目は Re(z²)=0 にあります。 u の劣調和性成り立つ
std-i07中級
u(z) = max{zz, (z+z)/2}
|z|² と Re z はともに劣調和で、その最大値も劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-i08中級
u(z) = min{zz, (z+z)/2}
滑らかな部分で Hessian が非負でも、枝の切替集合に負の特異測度が現れるため非劣調和です。 u の劣調和性成り立たない
std-i09初級
u(z) = |(z+z)/2| − 0.8zz
折れ目には正の測度がありますが、そこから離れると u_{z z̄}=−0.8 です。例えば a=1/2, r=0.08 なら円が折れ目を横切らず、J_u(a,r)=−0.00512<0 になります。 u の劣調和性成り立たない
std-i10中級
u(z) = max{0, (z3 + z3)/2}
0 と Re(z³) の最大値なので劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-i11中級
u(z) = −max{0, (z2 + z2)/2}
折れ目に負のラプラシアン測度が現れます。 u の劣調和性成り立たない
std-i12中級
u(z) = max{zz, 1/4}
|z|² と定数の最大値なので劣調和。半径 1/2 の円周に正の特異測度があります。 u の劣調和性成り立つ
std-a01上級
u(z) = Re ∑k=0∞ 0.55k(z/1.03)2k
これは正則函数の実部なので調和です。|z|=1.03 は自然境界ですが、表示は有限部分和で近似しています。 u の劣調和性成り立つ
std-a02上級
u(z) = Re ∑k=0∞ 0.55k(z/1.03)2k + 2.4zz
調和函数に 2.4|z|² を加えたもの。Hessian は正の定数です。 u の劣調和性成り立つ
std-a03初級
u(z) = Re ∑k=0∞ 0.55k(z/1.03)2k − 2.4zz
複雑な形でも、調和函数を除けば −2.4|z|² が残るので Hessian は負です。 u の劣調和性成り立たない
std-a04初級
u(z) = gP(z),   P(z)=z2−2
g_P は多項式 P(z)=z²−2 の逃避率 Green 函数です。劣調和で、ラプラシアン測度は Julia 集合 [−2,2] 上にあります。描画は反復による近似です。 u の劣調和性成り立つ
std-a05初級
u(z) = −gP(z),   P(z)=z2−2
−g_P のラプラシアン測度は Julia 集合上で負なので、劣調和ではありません。数値描画には反復近似を使います。 u の劣調和性成り立たない
std-a06上級
u(z) = |Re(z/(1 − 0.75z))|
正則函数の実部の絶対値は二つの調和函数の最大値です。 u の劣調和性成り立つ
std-a07初級
u(z) = −|Re(z/(1 − 0.75z))|
Re(z/(1−0.75z)) は円板内で正負を取り、零集合に沿って −|Re f| は負のラプラシアン測度を持ちます。 u の劣調和性成り立たない
std-a08上級
u(z) = Re(1/(1 − 0.75z))
この函数は調和函数です。複素 Hessian は恒等的に 0 であり、劣調和でもあります。 u の劣調和性成り立つ
std-a09中級
u(z) = max{0, Re(z/(1 − 0.75z))}
0 と調和函数の最大値なので劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-i13中級
u(z) = zz + 3(z2 + z2)/2
u=4x²−2y² は一方向に強く凹ですが、u_{z z̄}=1>0。劣調和性は各方向の凸性ではなく二方向の曲率の和で決まります。 u の劣調和性成り立つ
std-i14中級
u(z) = −zz + 3(z2 + z2)/2
u=2x²−4y² は一方向に強く凸でも u_{z z̄}=−1<0。原点付近で円周平均が中心値より低くなります。 u の劣調和性成り立たない
std-i15中級
u(z) = zz − 3(zz)2 + 3(zz)3
半径に沿って単調増加します(d/dt= (1−3t)²≥0)。しかし u_{z z̄}=(1−3t)(1−9t)<0 は 1/9<t<1/3(半径 1/3<|z|<1/√3)で負です。 u の劣調和性成り立たない
std-i16中級
u(z) = zz + 2(z3 + z3)/2
調和な 2 Re(z³) は Hessian に寄与しません。山と谷が激しくても u_{z z̄}=1 なので狭義劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-i17中級
u(z) = −zz + 2(z3 + z3)/2
2 Re(z³) は調和なので、−|z|² の負の Hessian が残ります。原点付近でも違いが出ます。 u の劣調和性成り立たない
std-i18中級
u(z) = 1.8zz + 2(z4+z4)/2
4次の調和成分を加えると深い谷もできますが、complex Hessian は 1.8>0。実二変数の凸性とは違います。 u の劣調和性成り立つ
std-i19初級
u(z) = −1.8zz + 2(z4+z4)/2
4次の調和成分は Hessian を変えません。負の −1.8|z|² が支配するので非劣調和です。 u の劣調和性成り立たない
std-i20初級
u(z) = −log(1−zz/1.122)
半径1.12の円板のポアンカレ計量に対応するポテンシャル(定数倍・加法定数の違いを除く)。Δ 上で滑らかで Hessian は正です。 u の劣調和性成り立つ
std-i21初級
u(z) = max{(z+z)/2, Re(ωz), Re(ω2z)}, ω=e2πi/3
3つの調和函数の最大値。折れ目が3本の放射線となり、そこに正のラプラシアン測度が現れます。 u の劣調和性成り立つ
std-i22初級
u(z) = min{(z+z)/2, Re(ωz), Re(ω2z)}, ω=e2πi/3
3つの調和函数の最小値なので、枝の切り替わる線に負のラプラシアン測度が現れます。 u の劣調和性成り立たない
std-i23初級
u(z) = max{log|z−0.48|, log|z+0.48|}
二つの劣調和函数の最大値。零点付近でも他方の項が有限なので描画でき、枝の切替線に正の測度が現れます。 u の劣調和性成り立つ
std-i24中級
u(z) = min{max(log|z−0.48|,−2.4),max(log|z+0.48|,−2.4)}
切り詰めた対数ポテンシャルは個々には劣調和ですが、最小値をとると枝の切替線に負の特異測度が現れ、非劣調和です。 u の劣調和性成り立たない
std-i25中級
u(z) = log(|z2−0.4|2 + |z−0.25i|2 + 0.262)
正則写像 f=(z²−0.4,z−0.25i,0.26) に対する log‖f‖² は劣調和。定数成分があるため、実際には狭義劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-i26中級
u(z) = max{0, zz+2(z2 + z2)/2}
|z|²+2Re(z²) は狭義劣調和で、0との最大値も劣調和。見た目の鞍型の谷があっても成立します。 u の劣調和性成り立つ
std-i27中級
u(z) = min{0, zz+2(z2 + z2)/2}
枝の内側では u=0、外側では u=|z|²+2Re(z²)。最小を取ることで境界の折れ目に負の測度が出ます。 u の劣調和性成り立たない
std-i28中級
u(z) = |(z+z)/2| + 0.8zz
折れ目の正の測度に加え、滑らかな部分でも u_{z z̄}=0.8>0。全体として狭義劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-a10上級
u(z) = gz²−1(2.85z)
P(w)=w²−1 の逃避率 Green 函数を w=2.85z に制限。劣調和で、Julia 集合の像に正の平衡測度が集中します。 u の劣調和性成り立つ
std-a11中級
u(z) = gz²−0.12256+0.74486i(2.85z)
P(w)=w²−0.12256+0.74486i の Green 函数。フラクタルの形が変わっても、ラプラシアン測度は非負です。 u の劣調和性成り立つ
std-a12初級
u(z) = −gz²−1(2.85z)
Green 函数の負号を取ると、Julia 集合上の平衡測度が負になり、劣調和性が壊れます。 u の劣調和性成り立たない
std-a13中級
u(z) = 3gz²−1(2.85z)+1.8zz+2.8(z2 + z2)/2
3G の正の測度と、Hessian が 1.8 の二次形式を加えたもの。鞍型(4.6x²−1.0y²)の凹方向があっても、全体として狭義劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-a14上級
u(z) = 3gz²−1(2.85z)−1.8zz+2.8(z2 + z2)/2
鞍型 1.0x²−4.6y² には凸方向もあります。しかし Julia 集合から離れた開集合で G は調和なので、u_{z z̄}=−1.8<0 です。 u の劣調和性成り立たない
std-a15上級
u(z) = 3gz²−0.12256+0.74486i(2.85z)+1.8zz+2.8 Re(eiπ/4z2)
Julia 集合の正の測度と、回転した調和二次形式+1.8|z|² の組合せ。曲率の向きが複雑でも全体は狭義劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-a16上級
u(z) = 3gz²−0.12256+0.74486i(2.85z)−1.8zz+2.8 Re(eiπ/4z2)
Julia 集合から離れた領域では Green 函数が調和なので、負の定数 Hessian −1.8 が残ります。 u の劣調和性成り立たない
std-a17初級
u(z) = −4gz²−1(2.85z)+1.8zz+2(z2 + z2)/2
Julia 集合の外では Hessian は +1.8 ですが、Julia 集合上には −4 倍の負の平衡測度があります。滑らかな部分だけ見て Yes と判定できない例です。 u の劣調和性成り立たない
std-a18上級
u(z) = gz²−1(2.85z)+1.8zz+2(z3 + z3)/2
調和な三次成分は曲面を大きく波打たせますが、Green の正の測度に加えて Hessian 1.8 が残ります。 u の劣調和性成り立つ
std-a19初級
u(z) = min{2gz²−1(2.85z), 0.65}
Green 函数を上から切り詰めると、正の勾配を持つ等位線上で負のラプラシアン測度が生まれます。下からの max と逆の現象です。 u の劣調和性成り立たない
std-a20中級
u(z) = max{2gz²−1(2.85z), 0.65}
Green 函数と定数の最大値なので劣調和。等位線に新たな正のラプラシアン測度ができます。 u の劣調和性成り立つ
std-a21上級
u(z) = max{2gz²−1(2.85z),1.1zz}
Green 函数と 1.1|z|² は劣調和で、その最大値も劣調和。枝の切替には正の特異測度が生じます。 u の劣調和性成り立つ
std-a22上級
u(z) = log(1+|P∘3(1.7z)|2), P(w)=w2−1
反復多項式の対数ノルム。正則函数 F に対し log(1+|F|²) は劣調和で、Hessian は |F′|²/(1+|F|²)²≥0。 u の劣調和性成り立つ
std-a23初級
u(z) = −log(1+|P∘3(1.7z)|2) + 1.5zz,   P(w)=w2−1
反復多項式の対数ノルムに負号を付けて 1.5|z|² を加えました。Hessian は 1.5−|F′|²/(1+|F|²)²。F の零点近傍などで負になる箇所があり非劣調和です。 u の劣調和性成り立たない
std-i29上級
u(z) = .24 P.91(z; .2)
P_q(z;θ)=Re[(1+q e^(−iθ)z/1.055)/(1−q e^(−iθ)z/1.055)]。半径 1.055 の円板上の Dirichlet 問題の解です。境界の急峻な変化がグラフに現れても、Poisson 積分なので複素 Hessian は全点で 0 です。 u の劣調和性成り立つ
std-i30中級
u(z) = .24 P.87(z; .65) − .26 P.87(z; 3.45)
P_q(z;θ)=Re[(1+q e^(−iθ)z/1.055)/(1−q e^(−iθ)z/1.055)]。Dirichlet 境界値は二つの鋭い山・谷。差をとっても調和函数です。 u の劣調和性成り立つ
std-i31上級
u(z) = (4/π) Im artanh(z/1.055)
上半円で +1、下半円で −1 という境界値の Dirichlet 解。段差に見えても内部では調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-i32上級
u(z) = .75 S(z) + .45 P.78(z; 1.85) − .35 P.80(z; 4.25)
S(z)=(4/π)Im artanh(z/1.055)、P_q(z;θ)=Re[(1+q e^(−iθ)z/1.055)/(1−q e^(−iθ)z/1.055)]。段差と二つの山谷を合わせた調和函数です。 u の劣調和性成り立つ
std-i33上級
u(z) = .7 Re((z/1.028)3) + .36 Re((z/1.028)11) − .27 Im((z/1.028)16)
境界付近で急に振動が増す有限Fourier級数のPoisson拡張。正則多項式の実部と虚部の線形結合なので調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-i34初級
u(z) = .55·(.24 P.91(z; .2)) + 2.3[(zz)2 − .65zz]
P_q(z;θ)=Re[(1+q e^(−iθ)z/1.055)/(1−q e^(−iθ)z/1.055)]。前半は Dirichlet 問題の調和解ですが、後半の項の Hessian は 2.3(4|z|²−0.65)。|z|<√(0.65/4) で負です。中央の広い領域を円周で確かめられます。 u の劣調和性成り立たない
std-i35初級
u(z) = .5 S(z) − 2.2zz
S(z)=(4/π)Im artanh(z/1.055)。段差のような調和函数に −2.2|z|² を足しています。複素 Hessian は恒等的に −2.2 で、どこでも平均値不等式が破れます。 u の劣調和性成り立たない
std-a24中級
u(z) = log KAt(.88,.88), t = 1 + 0.15z
A_t={0.25<|w|<2.4e^{-φ(t)}}、φ(t)=.24|z|²+.14Re(z³)+.16Re(t⁻⁷−1)。このファイバー族は擬凸な Hartogs 型領域を作り、正則断面 w=.88 に沿う log Bergman 核は劣調和です。核は Laurent 基底から数値計算しています。 u の劣調和性成り立つ
std-a25上級
u(z) = log KBt(.88,.88), t = 1 + 0.15z
B_t={0.25<|w|<2.4e^{-ψ(t)}}、ψ(t)=.18|z|²+.24Re(z⁵)−.13Re(t⁻⁸−1)。複雑な起伏は擬凸なファイバーの変動から生じます。正則断面上の log Bergman 核は劣調和です。 u の劣調和性成り立つ
std-a26初級
u(z) = log KA(.40+.47zz, .40+.47zz), A={0.25<|w|<1.9}
固定円環の Bergman 核そのものは log-psh ですが、ここでは評価点 w=.40+.47|z|² が非正則です。原点では Hessian が負になるため、引き戻しは劣調和ではありません。 u の劣調和性成り立たない

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Subharmonic?:−logモード (28例)

グラフと式は正の関数 u を表し、判定する対象は −log u です。単位円板上の28例です。 使用する種類:sh

Subharmonic?:−logモード:ID・関数/領域・説明・判定
例のID関数・領域どんな例か判定
log-b01初級
u(z) = 1 − zz
−log(1−|z|²) の Hessian は正です。境界に近いほど急激に大きくなります。 −log u の劣調和性成り立つ
log-b02初級
u(z) = 1 + zz
log(1+|z|²) は劣調和ですが、その負号を付けたものは違います。 −log u の劣調和性成り立たない
log-b03初級
u(z) = exp((z+z)/2)
−log(exp(Re z))=−Re z は調和函数です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-b04初級
u(z) = exp(−zz)
−log u=|z|² です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-b05中級
u(z) = exp(zz)
−log u=−|z|² です。 −log u の劣調和性成り立たない
log-b06中級
u(z) = 2 + (z2 + z2)/2
u は正の調和函数です。一般に正の調和函数 u に対して −log u は劣調和です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-b07中級
u(z) = 2 − (z2 + z2)/2
正の調和函数の −log は劣調和です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-b08中級
u(z) = 2 + (zz)2
原点以外で Hessian が負になります。 −log u の劣調和性成り立たない
log-b09初級
u(z) = 2 + (z+z)/2
正の調和函数 u=2+Re z の −log は劣調和です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-b10初級
u(z) = 2 − zz
−log(2−|z|²) の Hessian は 2/(2−|z|²)² で正です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-b11上級
u(z) = exp((z2 + z2)/2)
−log u=−Re(z²) は調和函数です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-b12上級
u(z) = exp(−(z2 + z2)/2)
−log u=Re(z²) は調和関数です。複素 Hessian は恒等的に0であり、劣調和でもあります。 −log u の劣調和性成り立つ
log-i01中級
u(z) = max{1, 1.3+(z+z)/2}
−log u は二つの劣調和函数の最小値となり、切替線上で平均値不等式が破れます。 −log u の劣調和性成り立たない
log-i02中級
u(z) = min{1, 1.3+(z+z)/2}
−log u=max{0,−log(1.3+Re z)}。劣調和函数の最大値なので劣調和です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-i03中級
u(z) = exp(|(z+z)/2|)
−log u=−|Re z| は折れ目に負のラプラシアン測度を持ちます。 −log u の劣調和性成り立たない
log-i04初級
u(z) = exp(−|(z+z)/2|)
−log u=|Re z| は二つの調和函数の最大値です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-i05中級
u(z) = max{1.5−zz, 1.4}
−log u は二つの劣調和函数の最小値。折れ目に負の特異測度が現れます。 −log u の劣調和性成り立たない
log-i06中級
u(z) = min{1.5−zz, 1.4}
−log u は二つの劣調和函数の最大値なので劣調和です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-a01上級
u(z) = exp(−gP(z),   P(z)=z2−2)
−log u=g_P は多項式の Green 函数なので劣調和です。描画は数値近似です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-a02上級
u(z) = exp(gP(z),   P(z)=z2−2)
−log u=−g_P は Julia 集合上に負のラプラシアン測度を持ちます。 −log u の劣調和性成り立たない
log-a03上級
u(z) = exp(Re ∑k=0∞ 0.55k(z/1.03)2k)
−log u は正則函数の実部の負号なので調和です。表示は有限部分和です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-a04上級
u(z) = exp(Re ∑k=0∞ 0.55k(z/1.03)2k+1.4zz)
−log u=−Re f−1.4|z|²。Hessian は負です。 −log u の劣調和性成り立たない
log-a05上級
u(z) = exp(Re ∑k=0∞ 0.55k(z/1.03)2k−1.4zz)
−log u=−Re f+1.4|z|²。Hessian は正です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-i07中級
u(z) = exp(zz+(z2 + z2)/2)
u=exp(2x²) は非常に凸に見えても、−log u=−2x² の Hessian は −1 です。 −log u の劣調和性成り立たない
log-i08中級
u(z) = exp(−zz+(z2 + z2)/2)
u=exp(−2y²) は一方向で鋭く下に曲がりますが、−log u=2y² は狭義劣調和です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-i09初級
u(z) = 1−zz/1.122
−log u は半径 1.12 の円板のポアンカレ計量のポテンシャル(正規化を除く)で、狭義劣調和です。 −log u の劣調和性成り立つ
log-i10上級
u(z) = exp(|(z+z)/2|−1.3zz)
−log u=1.3|z|²−|Re z|。滑らかな部分の Hessian は正でも、折れ目に負のラプラシアン測度があるため非劣調和です。 −log u の劣調和性成り立たない
log-i11中級
u(z) = exp(−|(z+z)/2|−1.3zz)
−log u=1.3|z|²+|Re z|。滑らかな部分も折れ目も非負の測度を与えます。 −log u の劣調和性成り立つ

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Plurisubharmonic?:多重劣調和関数の例・非例 (34例)

二つの複素変数 z, w の関数について、単位双円板 Δ × Δ 上での多重劣調和性を調べる34例です。 使用する種類:psh

Plurisubharmonic?:多重劣調和関数の例・非例:ID・関数/領域・説明・判定
例のID関数・領域どんな例か判定
N01初級
u(z,w) = |z|² + |w|²
Levi形式は diag(1,1) で正定値。 u の多重劣調和性成り立つ
N02初級
u(z,w) = |w|² − |z|²
z 方向の Levi 曲率が −1。w 方向の切片は劣調和でも、全体は psh ではありません。 u の多重劣調和性成り立たない
N03初級
u(z,w) = |z + w|²
正則函数 z+w の絶対値二乗。Levi行列は [[1,1],[1,1]] ≥ 0。 u の多重劣調和性成り立つ
N04初級
u(z,w) = −|z + w|²
z=w=ζ では u(ζ,ζ)=−4|ζ|² となり劣調和性が破れます。 u の多重劣調和性成り立たない
N05初級
u(z,w) = Re(zw)
正則函数 zw の実部なので多重調和(pluriharmonic)。 u の多重劣調和性成り立つ
N06初級
u(z,w) = |z|² + 2|w|²
Levi行列は diag(1,2) で正定値。 u の多重劣調和性成り立つ
N07初級
u(z,w) = |z|² − |w|²
w 方向で Levi 曲率が −1 となります。 u の多重劣調和性成り立たない
N08初級
u(z,w) = |z − w|²
正則函数 z−w の絶対値二乗。Levi行列は半正定値で、核方向を持ちます。 u の多重劣調和性成り立つ
N09初級
u(z,w) = |z|² + Re(w²)
Re(w²) は多重調和なのでLevi形式には寄与しません。 u の多重劣調和性成り立つ
N10初級
u(z,w) = −|z|² + Re(w²)
w 方向は調和ですが、z 方向の Levi 曲率は −1。 u の多重劣調和性成り立たない
A01中級
u(z,w) = |z|² + |w|² − 1.8Re(z w̄)
Levi行列は [[1,−0.9],[−0.9,1]]、固有値は 1±0.9。座標方向はどちらも狭義劣調和ですが、混合項の大きさが決定的です。 u の多重劣調和性成り立つ
A02中級
u(z,w) = |z|² + |w|² − 2.2Re(z w̄)
Levi行列は [[1,−1.1],[−1.1,1]]、固有値は 1±1.1。座標方向はどちらも狭義劣調和ですが、混合項の大きさが決定的です。 u の多重劣調和性成り立たない
A03中級
u(z,w) = |z|² + |w|² − 4Re(z w̄)
Levi行列は [[1,−2],[−2,1]]、固有値は 1±2。座標方向はどちらも狭義劣調和ですが、混合項の大きさが決定的です。 u の多重劣調和性成り立たない
A04中級
u(z,w) = |z|² + |w|² − 2Re(z w̄)
Levi行列は [[1,−1],[−1,1]]、固有値は 1±1。座標方向はどちらも狭義劣調和ですが、混合項の大きさが決定的です。 u の多重劣調和性成り立つ
A05中級
u(z,w) = |w − z²|²
正則函数 w−z² の絶対値二乗で、Levi形式は半正定値(行列式0)。 u の多重劣調和性成り立つ
A06中級
u(z,w) = |z|² + |w|² − 2Re(zw)
Re(zw) は多重調和。見かけ上の交差項に惑わされず、Levi行列は diag(1,1)。 u の多重劣調和性成り立つ
A07中級
u(z,w) = 0.2|z|² + |w|² − 1.2Re(z w̄)
座標方向はともに狭義劣調和ですが、Levi行列の行列式は 0.2−0.6²=−0.16。 u の多重劣調和性成り立たない
A08中級
u(z,w) = 0.4|z|² + |w|² − 0.8Re(z w̄)
Levi行列の対角成分は正で、行列式は 0.4−0.4²=0.24>0。 u の多重劣調和性成り立つ
A09中級
u(z,w) = |zw|²
正則函数 zw の絶対値二乗。Levi形式は半正定値で行列式は0。 u の多重劣調和性成り立つ
A10中級
u(z,w) = −|zw|²
例えば w=1/2 を固定すると z↦−|z|²/4 は劣調和ではありません。 u の多重劣調和性成り立たない
M01上級
u(z,w) = log(1 + |z|² + |w|²)
log(|1|²+|z|²+|w|²) は正則函数のノルムの対数でpsh。ここでは Levi行列も正定値です。 u の多重劣調和性成り立つ
M02上級
u(z,w) = −log(1 + |z|² + |w|²)
原点では Levi 行列は −I。psh ではありません。 u の多重劣調和性成り立たない
M03上級
u(z,w) = |z|² + |w|² − 3|zw|²
例えば w=0.7 では u_{z z̄}=1−3(0.7)²<0。内部で座標方向の劣調和性も失います。 u の多重劣調和性成り立たない
M04上級
u(z,w) = |z|² + |w|² + |zw|²
三つの正則函数 z,w,zw の絶対値二乗の和なのでpsh。 u の多重劣調和性成り立つ
M05上級
u(z,w) = |w − z²|² − 0.2|z|²
原点で u_{z z̄}=−0.2。非負函数に見える主項だけでは判断できません。 u の多重劣調和性成り立たない
M06上級
u(z,w) = |w − z²|² + 0.2|z|²
正則函数の絶対値二乗と正の倍数の |z|² の和。Levi行列の行列式は常に0.2です。 u の多重劣調和性成り立つ
M07上級
u(z,w) = |z|⁴ + |w|⁴ − 0.4Re(z w̄)
両座標切片は劣調和。しかし原点でLevi行列は [[0,−0.2],[−0.2,0]]、負の固有値を持ちます。 u の多重劣調和性成り立たない
M08上級
u(z,w) = |z|⁴ + |w|⁴
Levi行列は diag(4|z|²,4|w|²)≥0。原点では退化しています。 u の多重劣調和性成り立つ
M09上級
u(z,w) = |z|² + |w|² + 3Re(z² w̄)
座標方向はどちらも狭義劣調和ですが、Levi固有値は 1±3|z|。|z|>1/3 で負の方向があります。 u の多重劣調和性成り立たない
M10上級
u(z,w) = |z|² + |w|² + Re(z² w̄)
Levi固有値は 1±|z|。|z|<1 のため、Δ×Δ の全域で正定値です。 u の多重劣調和性成り立つ
S01中級
u(z,w) = max(|z|², |w|²)
二つのpsh函数の最大値はpshです。|z|=|w| に折れ目があっても問題ありません。 u の多重劣調和性成り立つ
S02中級
u(z,w) = min(|z|², |w|²)
最小値ではpsh性が保存されません。枝が入れ替わる折れ目を跨ぐ円板で平均値不等式が破れます。 u の多重劣調和性成り立たない
S03上級
u(z,w) = max(|z + w|², |z − w|²)
二つの正則函数 z+w, z−w の絶対値二乗の最大値。切替集合では折れますがpshです。 u の多重劣調和性成り立つ
S04上級
u(z,w) = min(|z + w|², |z − w|²)
二つの枝はいずれもpshですが、最小値の切替集合には負の円周平均差が現れます。 u の多重劣調和性成り立たない

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緑陰図:領域の例・非例 (54例)

固定した z に対する w の切り口を観察する54例です。判定欄は領域の擬凸性を表します。 使用する種類:ryokuinzu

緑陰図:領域の例・非例:ID・関数/領域・説明・判定
例のID関数・領域どんな例か判定
n01初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < 0.90 }
切り口が常に同じ円板になる領域。 領域の擬凸性成り立つ
n02初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−0.65|z|²) }
原点から離れると、切り口の円板が小さくなる。 領域の擬凸性成り立つ
n03初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(+0.65|z|²) }
原点から離れると、切り口の円板が大きくなる。 領域の擬凸性成り立たない
n04中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−0.8 Re(z²)) }
方向によって半径の増減が異なるが、ポテンシャルは調和的。 領域の擬凸性成り立つ
n05中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(0.5|z|² − 0.6 Re(z²)) }
調和的な項を加えても、負の複素 Hessian は改善しない。 領域の擬凸性成り立たない
n06初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.65z| < 0.90 }
中心が正則に平行移動する円板。 領域の擬凸性成り立つ
n07中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.65z| < exp(−0.40|z|²) }
中心が移動しながら、半径が小さくなる円板。 領域の擬凸性成り立つ
n08初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.65z| < exp(+0.45|z|²) }
中心が移動しながら、半径が大きくなる円板。 領域の擬凸性成り立たない
n09初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.55z²| < 0.85 }
円板の中心が曲線に沿って移動する。 領域の擬凸性成り立つ
n10初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−0.55|z|⁴) }
原点では半径の曲率が退化する。 領域の擬凸性成り立つ
n11初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(+0.55|z|⁴) }
z = 0 での2次の変化では見えない、4次の障害。 領域の擬凸性成り立たない
a01中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−[0.30|z|² + 0.85 Re(z²)]) }
実凸性と複素変数についての劣調和性を見比べる例。 領域の擬凸性成り立つ
a02中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−[−0.35|z|² + 0.85 Re(z²)]) }
見た目を支配する調和的な項が、負の Hessian を見えにくくする。 領域の擬凸性成り立たない
a03中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.45z² − 0.25iz| < exp(−[0.35|z|² + 0.45 Re(z³)]) }
中心が多項式に従って動き、半径が方向によって異なる。 領域の擬凸性成り立つ
a04中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.45z² − 0.25iz| < exp(−[−0.38|z|² + 0.45 Re(z³)]) }
複素曲率の符号だけを変えた例。 領域の擬凸性成り立たない
a05中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−[0.15|z|² + 0.23|z|⁴]) }
正の動径方向の曲率が、円板の縁に近づくにつれて強くなる。 領域の擬凸性成り立つ
a06上級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−[0.30|z|² − 0.24|z|⁴]) }
境界に近づくにつれて、曲率の符号が変わる。 領域の擬凸性成り立たない
a07中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−[−0.12|z|² + 0.28|z|⁴]) }
円板の大部分では条件を満たすが、中心付近では満たさない。 領域の擬凸性成り立たない
a08初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < 1.05, |w − 0.72z| < 0.88 }
固定円板と、正則に移動する円板の共通部分。 領域の擬凸性成り立つ
a09中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.60z| < 0.96, |w + 0.55z| < 0.96 }
二つの動く円板が作るレンズ型の切り口。 領域の擬凸性成り立つ
a10中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(+0.55|z|²), |w − 0.65z| < 1.27 }
大きくなる円板を別の円板で切っても、非擬凸な境界部分が残る。 領域の擬凸性成り立たない
a11中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < 1.30, |w − 0.40z²| < exp(−0.27|z|²) }
非線形に移動する中心と縮小する半径の制約が作るレンズ型。 領域の擬凸性成り立つ
m01初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0.30 < |w| < 1.25 }
すべての切り口が同じ環状領域になる。 領域の擬凸性成り立つ
m02中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0.30 exp(0.18|z|²) < |w| < 1.23 exp(−0.20|z|²) }
内外の境界が、どちらも擬凸となる方向へ曲がる。 領域の擬凸性成り立つ
m03初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0.30 exp(−0.45|z|²) < |w| < 1.20 }
内側の境界が、擬凸性に反する方向へ曲がる。 領域の擬凸性成り立たない
m04初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0.30 < |w| < 1.20 exp(+0.50|z|²) }
外側の境界が負の曲率を持つ。 領域の擬凸性成り立たない
m05中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0.30 exp(0.25|z|²) < |w − 0.38z| < 1.22 exp(−0.10|z|²) }
正則に平行移動する環状領域。 領域の擬凸性成り立つ
m06上級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.38z³ − 0.25iz²| < exp(−[0.12|z|² + 0.22|z|⁴ + 0.70 Re(z³)]) }
方向による強い変形があっても、複素曲率は正に保たれる。 領域の擬凸性成り立つ
m07上級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.38z³ − 0.25iz²| < exp(−[0.38|z|² − 0.28|z|⁴ + 0.70 Re(z³)]) }
縁の近くで複素曲率の符号が変わる。 領域の擬凸性成り立たない
m08上級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.45z| < 1.05, |w + 0.40z| < 1.04, |w − 0.30i| < 1.12 }
中心が正則に動く三つの円板の共通部分。 領域の擬凸性成り立つ
m09上級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(+0.45|z|²), |w − 0.50z| < 1.28, |w + 0.35z| < 1.28 }
追加の二つの制約が、局所的に非擬凸な境界を見えにくくする。 領域の擬凸性成り立たない
n12初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < 0.90, (|z| > 0.38 or |w| < 0.33) }
中央の細い芯と外側の太い部分を持つ、古典的な Hartogs 図形。 領域の擬凸性成り立たない
n13初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < 0.80 }
w 方向の半径が小さい双円板。 領域の擬凸性成り立つ
n14初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |Re w|<0.64, |Im w|<0.56, Re(z+w)<1.05, Im(w−z)<1.00 }
実アフィン半空間と底面の円板の共通部分として得られる凸領域。 領域の擬凸性成り立つ
n15中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |Re w|<0.70, |Im w|<0.60, (Re z>0.08 or Re w<−0.08) }
実多面体の内向きの角が非擬凸性を生む。 領域の擬凸性成り立たない
n16上級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w|<0.95, |w² − 0.72z|<0.42 }
切り口が非連結になることもある正則多面体。 領域の擬凸性成り立つ
n17中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, u=(z−w)/√2, v=(z+w)/√2, |u|<0.62, |v|<0.62 }
半径を縮小した双円板のユニタリ像。切り口はレンズ型になる。 領域の擬凸性成り立つ
a12上級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, u=(z−w)/√2, v=(z+w)/√2, |u|,|v|<0.62, (|u|>0.29 or |v|<0.23) }
二つの複素座標を混ぜるユニタリ変換で回転した Hartogs 図形。 領域の擬凸性成り立たない
a13初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w−0.36z²|<0.76 }
双円板に多項式自己同型を施した領域。切り口の円板は正則に移動する。 領域の擬凸性成り立つ
a14中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w−0.52z²|<0.90, (|z|>0.38 or |w−0.52z²|<0.33) }
自己同型 (z,v)↦(z,v+0.52z²) による Hartogs 図形の像。 領域の擬凸性成り立たない
a15上級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w−0.28z²|<0.95, |(w−0.28z²)²−0.72z|<0.42 }
w 方向の2次の剪断変形を施した正則多面体。 領域の擬凸性成り立つ
a16中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |u|<0.62, |v|<0.62, u=cos(π/6)z−sin(π/6)w, v=sin(π/6)z+cos(π/6)w }
対称性の低い回転によって得られる、双円板の別のユニタリ像。 領域の擬凸性成り立つ
a17中級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |z|<1, |Re(w−0.22z²)|<0.64, |Im(w−0.22z²)|<0.56, Re(z+w−0.22z²)<1.05, Im(w−0.22z²−z)<1.00 }
実凸多面体領域に、正則な2次の剪断変形を施した領域。 領域の擬凸性成り立つ
m10上級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, u=z−0.42w², v=w, |u|,|v|<0.62, (|u|>0.29 or |v|<0.23) }
底面の座標も混ぜる三角型多項式自己同型による Hartogs 図形の像。 領域の擬凸性成り立たない
m11上級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, u=z−0.38w², v=w, |u|<0.62, |v|<0.62, |v²−0.72u|<0.42 }
底面と切り口の座標を2次式で混ぜた正則多面体。 領域の擬凸性成り立つ
m12上級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0<|z|<1, |w−exp(i t)|²<1−η(t), t=log(|z/0.16|²), η(t)=0.60·max(|t|−2.20,0)⁴ }
円板の切り口が回転する、擬凸 Diederich–Fornæss 型ワーム領域。 領域の擬凸性成り立つ
m13上級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, u=cos(π/6)z−sin(π/6)w, v=sin(π/6)z+cos(π/6)w, |u|,|v|<0.62, (|u|>0.29 or |v|<0.23) }
対称性の低いユニタリ回転を施した Hartogs 図形。 領域の擬凸性成り立たない
m14上級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |z|<1, |Re(w−0.30z²)|<0.70, |Im(w−0.30z²)|<0.60, (Re z>0.08 or Re(w−0.30z²)<−0.08) }
非擬凸かつ非凸な実多面体領域に、双正則な剪断変形を施した領域。 領域の擬凸性成り立たない
m15上級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, |z|<1, |w|<0.73, |w³−0.50z|<0.20 }
切り口の連結性が変化する、3次式による正則多面体。 領域の擬凸性成り立つ
n18初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, (|z| < 0.48 and |w| < 1) or (0.40 < |w| < 1) }
標準 Hartogs 図形。中央の円板が |z| = 0.48 の外側で環状領域になる。 領域の擬凸性成り立たない
n19初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0.30 exp(−0.20|z|²) < |w| < 1.20 exp(+0.24|z|²) }
環状の帯が外に向かって両側に広がり、内半径の対数が劣調和でなくなる。 領域の擬凸性成り立たない
n20初級
Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0.30 < |w − 0.30z| < 1.10 }
形を変えずに正則に平行移動する環状領域。 領域の擬凸性成り立つ
lecture-ball初級講義用追加例
Ω = { (z,w) ∈ ℂ² : |z|² + |w|² < 1 }
ℂ² の単位開球。固定した z の切り口は半径 √(1−|z|²) の円板。 領域の擬凸性成り立つ
lecture-polydisc初級講義用追加例
Ω = { (z,w) ∈ ℂ² : |z| < 1, |w| < 1 }
単位双円板 Δ × Δ。すべての z で切り口は単位円板。 領域の擬凸性成り立つ

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この一覧の元データ:編集キット内の resources/games/catalog-sh.json、catalog-psh.json、catalog-ryokuinzu.json。SH 106例(通常78・−log 28)、PSH 34例、緑陰図54例。緑陰図には講義用に追加した lecture-ball と lecture-polydisc を含みます。