動く切り口を観察する

左の z 平面で単位円板内の点を動かすと、右に Ω_z = {w : (z,w) ∈ Ω} が現れます。領域 Ω の定義式は回答するまで非公開。切り口の変化から、Ω ⊂ Δ × ℂ が擬凸かどうか Yes / No で予想してください。各ファイバーが擬凸でも、全体が擬凸とは限りません。

岡潔の「緑陰図」

岡潔は、二つの複素平面を並べ、一方の点を動かしたとき他方に現れる切り口の変化を眺める図を「緑陰図」と呼び、繰り返し書いていたそうです。本ゲームはこの可視化の着想を、擬凸性を探るインタラクティブなゲームへ発展させたものです。

参考：西野利雄「岡潔先生の数学」『数学』33巻2号 (1981), 171–178頁、とくに174–175頁。

観察とヒント

z をドラッグしてファイバーを観察。スキャン、軌跡、切り口の残像も使えます。対応している問題では、ヒントで w 平面上に log K_{Ω_z}(w,w) または −log dist(w,∂Ω_z) の立体グラフを可視化します。ファイバー内の点 w₀ を固定して z を動かすと、値の変動を追えます。後者は Hartogs 半径 R(z,w₀)=dist(w₀,∂Ω_z) に基づきます。

数学的な注意

擬凸ならばファイバーの log Bergman kernel は多重劣調和となりますが、一般には逆は成立しません。ヒントの立体表示は観察用であり、厳密な判定証明ではありません。円板・環状領域の Bergman kernel は公式または収束級数で、円板の共通部分では有限次元の正則多項式近似で表示します。後者の特に境界付近は定量的に不正確です。Hartogs 半径は、今回の円板制約の共通部分では厳密に求められます。問題の正解は解析的な議論で確定しています。