std-b01u(z) = zz
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
複素 Hessian が単位円板全体で非負なので劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-b01}{関数を観察する}SCVEAMER · VERSION 1 · LECTURE EXAMPLES
講義で観察する例を選ぶ
既存の関数・領域から例を選び、TeX をコピーして talk.tex に貼り付けます。問題IDは大文字・小文字を区別します。同じ例を複数のページに置くこともできます。
式は最初から表示されます。観察してから式を出したい場合は、
SH の −log モードでは、描くグラフは u、判定する関数は −log(u) です。数学的定義・解説は元の問題リストに対応しています。
\exploreframe[formula=hide]{…}{…}{…} と指定します。判定と解説は「解答・解説を表示」で開きます。SH の −log モードでは、描くグラフは u、判定する関数は −log(u) です。数学的定義・解説は元の問題リストに対応しています。
std-b02u(z) = −zz
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
単位円板内に複素 Hessian が負になる点があるため、劣調和ではありません。
\exploreframe{sh}{std-b02}{関数を観察する}std-b03u(z) = (z2 + z2)/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
この函数は調和函数です。複素 Hessian は恒等的に 0 であり、劣調和でもあります。
\exploreframe{sh}{std-b03}{関数を観察する}std-b04u(z) = (z3 − z3)/(2i)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
この函数は調和函数です。複素 Hessian は恒等的に 0 であり、劣調和でもあります。
\exploreframe{sh}{std-b04}{関数を観察する}std-b05u(z) = (zz)2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
複素 Hessian が単位円板全体で非負なので劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-b05}{関数を観察する}std-b06u(z) = zz − 2(zz)2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
u_{z z̄}=1−8|z|² は |z|>1/√8 で負になります。中心から少し離れた円周に注目してください。
\exploreframe{sh}{std-b06}{関数を観察する}std-b07u(z) = 2(zz)2 − zz
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
u_{z z̄}=8|z|²−1 は原点の近く（|z|<1/√8）で負になります。
\exploreframe{sh}{std-b07}{関数を観察する}std-b08u(z) = zz + (z2 + z2)/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
複素 Hessian が単位円板全体で非負なので劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-b08}{関数を観察する}std-b09u(z) = zz − (z3 + z3)/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
複素 Hessian が単位円板全体で非負なので劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-b09}{関数を観察する}std-b10u(z) = zz(1 + (z + z)/2)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
u_{z z̄}=1+2 Re(z) なので、Re(z)<−1/2 の部分で負になります。
\exploreframe{sh}{std-b10}{関数を観察する}std-b11u(z) = zz + (zz)3/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
複素 Hessian が単位円板全体で非負なので劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-b11}{関数を観察する}std-b12u(z) = −(z + z)/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
この函数は調和函数です。複素 Hessian は恒等的に 0 であり、劣調和でもあります。
\exploreframe{sh}{std-b12}{関数を観察する}std-b13u(z) = zz(1 − zz)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
u_{z z̄}=1−4|z|² は |z|>1/2 で負になります。
\exploreframe{sh}{std-b13}{関数を観察する}std-b14u(z) = log(1 + zz)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
複素 Hessian が単位円板全体で非負なので劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-b14}{関数を観察する}std-b15u(z) = −log(1 + zz)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
単位円板内に複素 Hessian が負になる点があるため、劣調和ではありません。
\exploreframe{sh}{std-b15}{関数を観察する}std-b16u(z) = (z3 + z3)/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
この函数は調和函数です。複素 Hessian は恒等的に 0 であり、劣調和でもあります。
\exploreframe{sh}{std-b16}{関数を観察する}std-b17u(z) = zz · (z2 + z2)/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
u_{z z̄}=3(Re(z)²−Im(z)²) は |Im(z)|>|Re(z)| の領域で負です。
\exploreframe{sh}{std-b17}{関数を観察する}std-i01u(z) = max{log|z|, −2}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
log|z| と定数の最大値なので劣調和。折れ目 |z|=e⁻² に正のラプラシアン測度が集中します。
\exploreframe{sh}{std-i01}{関数を観察する}std-i02u(z) = max{0, (z+z)/2}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
0 と Re z の最大値。折れ目 Re z=0 に正のラプラシアン測度があります。
\exploreframe{sh}{std-i02}{関数を観察する}std-i03u(z) = min{0, (z+z)/2}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
二つの調和函数の最小値です。折れ目 Re z=0 に負のラプラシアン測度があるため、劣調和ではありません。
\exploreframe{sh}{std-i03}{関数を観察する}std-i04u(z) = |(z+z)/2|
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
|Re z|=max{Re z,−Re z} は劣調和。正の測度は Re z=0 上にあります。
\exploreframe{sh}{std-i04}{関数を観察する}std-i05u(z) = −|(z+z)/2|
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
−|Re z| は折れ目に負の測度を持ち、非劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-i05}{関数を観察する}std-i06u(z) = max{0, (z2 + z2)/2}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
二つの調和函数の最大値なので劣調和。折れ目は Re(z²)=0 にあります。
\exploreframe{sh}{std-i06}{関数を観察する}std-i07u(z) = max{zz, (z+z)/2}
判定する対象：u の劣調和性
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u の劣調和性は成り立つ。
|z|² と Re z はともに劣調和で、その最大値も劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-i07}{関数を観察する}std-i08u(z) = min{zz, (z+z)/2}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
滑らかな部分で Hessian が非負でも、枝の切替集合に負の特異測度が現れるため非劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-i08}{関数を観察する}std-i09u(z) = |(z+z)/2| − 0.8zz
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
折れ目には正の測度がありますが、そこから離れると u_{z z̄}=−0.8 です。例えば a=1/2, r=0.08 なら円が折れ目を横切らず、J_u(a,r)=−0.00512<0 になります。
\exploreframe{sh}{std-i09}{関数を観察する}std-i10u(z) = max{0, (z3 + z3)/2}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
0 と Re(z³) の最大値なので劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-i10}{関数を観察する}std-i11u(z) = −max{0, (z2 + z2)/2}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
折れ目に負のラプラシアン測度が現れます。
\exploreframe{sh}{std-i11}{関数を観察する}std-i12u(z) = max{zz, 1/4}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
|z|² と定数の最大値なので劣調和。半径 1/2 の円周に正の特異測度があります。
\exploreframe{sh}{std-i12}{関数を観察する}std-a01u(z) = Re ∑k=0∞ 0.55k(z/1.03)2k
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
これは正則函数の実部なので調和です。|z|=1.03 は自然境界ですが、表示は有限部分和で近似しています。
\exploreframe{sh}{std-a01}{関数を観察する}std-a02u(z) = Re ∑k=0∞ 0.55k(z/1.03)2k + 2.4zz
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
調和函数に 2.4|z|² を加えたもの。Hessian は正の定数です。
\exploreframe{sh}{std-a02}{関数を観察する}std-a03u(z) = Re ∑k=0∞ 0.55k(z/1.03)2k − 2.4zz
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
複雑な形でも、調和函数を除けば −2.4|z|² が残るので Hessian は負です。
\exploreframe{sh}{std-a03}{関数を観察する}std-a04u(z) = gP(z), P(z)=z2−2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
g_P は多項式 P(z)=z²−2 の逃避率 Green 函数です。劣調和で、ラプラシアン測度は Julia 集合 [−2,2] 上にあります。描画は反復による近似です。
\exploreframe{sh}{std-a04}{関数を観察する}std-a05u(z) = −gP(z), P(z)=z2−2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
−g_P のラプラシアン測度は Julia 集合上で負なので、劣調和ではありません。数値描画には反復近似を使います。
\exploreframe{sh}{std-a05}{関数を観察する}std-a06u(z) = |Re(z/(1 − 0.75z))|
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
正則函数の実部の絶対値は二つの調和函数の最大値です。
\exploreframe{sh}{std-a06}{関数を観察する}std-a07u(z) = −|Re(z/(1 − 0.75z))|
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
Re(z/(1−0.75z)) は円板内で正負を取り、零集合に沿って −|Re f| は負のラプラシアン測度を持ちます。
\exploreframe{sh}{std-a07}{関数を観察する}std-a08u(z) = Re(1/(1 − 0.75z))
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
この函数は調和函数です。複素 Hessian は恒等的に 0 であり、劣調和でもあります。
\exploreframe{sh}{std-a08}{関数を観察する}std-a09u(z) = max{0, Re(z/(1 − 0.75z))}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
0 と調和函数の最大値なので劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-a09}{関数を観察する}log-b01u(z) = 1 − zz
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
−log(1−|z|²) の Hessian は正です。境界に近いほど急激に大きくなります。
\exploreframe{sh}{log-b01}{関数を観察する}log-b02u(z) = 1 + zz
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立たない。
log(1+|z|²) は劣調和ですが、その負号を付けたものは違います。
\exploreframe{sh}{log-b02}{関数を観察する}log-b03u(z) = exp((z+z)/2)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
−log(exp(Re z))=−Re z は調和函数です。
\exploreframe{sh}{log-b03}{関数を観察する}log-b04u(z) = exp(−zz)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
−log u=|z|² です。
\exploreframe{sh}{log-b04}{関数を観察する}log-b05u(z) = exp(zz)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立たない。
−log u=−|z|² です。
\exploreframe{sh}{log-b05}{関数を観察する}log-b06u(z) = 2 + (z2 + z2)/2
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
u は正の調和函数です。一般に正の調和函数 u に対して −log u は劣調和です。
\exploreframe{sh}{log-b06}{関数を観察する}log-b07u(z) = 2 − (z2 + z2)/2
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
正の調和函数の −log は劣調和です。
\exploreframe{sh}{log-b07}{関数を観察する}log-b08u(z) = 2 + (zz)2
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立たない。
原点以外で Hessian が負になります。
\exploreframe{sh}{log-b08}{関数を観察する}log-b09u(z) = 2 + (z+z)/2
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
正の調和函数 u=2+Re z の −log は劣調和です。
\exploreframe{sh}{log-b09}{関数を観察する}log-b10u(z) = 2 − zz
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
−log(2−|z|²) の Hessian は 2/(2−|z|²)² で正です。
\exploreframe{sh}{log-b10}{関数を観察する}log-b11u(z) = exp((z2 + z2)/2)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
−log u=−Re(z²) は調和函数です。
\exploreframe{sh}{log-b11}{関数を観察する}log-b12u(z) = exp(−(z2 + z2)/2)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
この函数は調和函数です。複素 Hessian は恒等的に 0 であり、劣調和でもあります。
\exploreframe{sh}{log-b12}{関数を観察する}log-i01u(z) = max{1, 1.3+(z+z)/2}
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立たない。
−log u は二つの劣調和函数の最小値となり、切替線上で平均値不等式が破れます。
\exploreframe{sh}{log-i01}{関数を観察する}log-i02u(z) = min{1, 1.3+(z+z)/2}
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
−log u=max{0,−log(1.3+Re z)}。劣調和函数の最大値なので劣調和です。
\exploreframe{sh}{log-i02}{関数を観察する}log-i03u(z) = exp(|(z+z)/2|)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立たない。
−log u=−|Re z| は折れ目に負のラプラシアン測度を持ちます。
\exploreframe{sh}{log-i03}{関数を観察する}log-i04u(z) = exp(−|(z+z)/2|)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
−log u=|Re z| は二つの調和函数の最大値です。
\exploreframe{sh}{log-i04}{関数を観察する}log-i05u(z) = max{1.5−zz, 1.4}
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立たない。
−log u は二つの劣調和函数の最小値。折れ目に負の特異測度が現れます。
\exploreframe{sh}{log-i05}{関数を観察する}log-i06u(z) = min{1.5−zz, 1.4}
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
−log u は二つの劣調和函数の最大値なので劣調和です。
\exploreframe{sh}{log-i06}{関数を観察する}log-a01u(z) = exp(−gP(z), P(z)=z2−2)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
−log u=g_P は多項式の Green 函数なので劣調和です。描画は数値近似です。
\exploreframe{sh}{log-a01}{関数を観察する}log-a02u(z) = exp(gP(z), P(z)=z2−2)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立たない。
−log u=−g_P は Julia 集合上に負のラプラシアン測度を持ちます。
\exploreframe{sh}{log-a02}{関数を観察する}log-a03u(z) = exp(Re ∑k=0∞ 0.55k(z/1.03)2k)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
−log u は正則函数の実部の負号なので調和です。表示は有限部分和です。
\exploreframe{sh}{log-a03}{関数を観察する}log-a04u(z) = exp(Re ∑k=0∞ 0.55k(z/1.03)2k+1.4zz)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立たない。
−log u=−Re f−1.4|z|²。Hessian は負です。
\exploreframe{sh}{log-a04}{関数を観察する}log-a05u(z) = exp(Re ∑k=0∞ 0.55k(z/1.03)2k−1.4zz)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
−log u=−Re f+1.4|z|²。Hessian は正です。
\exploreframe{sh}{log-a05}{関数を観察する}std-i13u(z) = zz + 3(z2 + z2)/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
u=4x²−2y² は一方向に強く凹ですが、u_{z z̄}=1>0。劣調和性は各方向の凸性ではなく二方向の曲率の和で決まります。
\exploreframe{sh}{std-i13}{関数を観察する}std-i14u(z) = −zz + 3(z2 + z2)/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
u=2x²−2y² は一方向に強く凸でも u_{z z̄}=−1<0。原点付近で円周平均が中心値より低くなります。
\exploreframe{sh}{std-i14}{関数を観察する}std-i15u(z) = zz − 3(zz)2 + 3(zz)3
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
半径に沿って単調増加します（d/dt= (1−3t)²≥0）。しかし u_{z z̄}=(1−3t)(1−9t)<0 は 1/9
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緑陰図 — Pseudoconvex?
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\exploreframe{sh}{std-i15}{関数を観察する}std-i16u(z) = zz + 2(z3 + z3)/2
判定する対象：u の劣調和性
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u の劣調和性は成り立つ。
調和な 2 Re(z³) は Hessian に寄与しません。山と谷が激しくても u_{z z̄}=1 なので狭義劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-i16}{関数を観察する}std-i17u(z) = −zz + 2(z3 + z3)/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
2 Re(z³) は調和なので、−|z|² の負の Hessian が残ります。原点付近でも違いが出ます。
\exploreframe{sh}{std-i17}{関数を観察する}std-i18u(z) = 1.8zz + 2(z4+z4)/2
判定する対象：u の劣調和性
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u の劣調和性は成り立つ。
4次の調和成分を加えると深い谷もできますが、complex Hessian は 1.8>0。実二変数の凸性とは違います。
\exploreframe{sh}{std-i18}{関数を観察する}std-i19u(z) = −1.8zz + 2(z4+z4)/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
4次の調和成分は Hessian を変えません。負の −1.8|z|² が支配するので非劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-i19}{関数を観察する}std-i20u(z) = −log(1−zz/1.122)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
半径1.12の円板のポアンカレ計量に対応するポテンシャル（定数倍・加法定数の違いを除く）。Δ 上で滑らかで Hessian は正です。
\exploreframe{sh}{std-i20}{関数を観察する}std-i21u(z) = max{(z+z)/2, Re(ωz), Re(ω2z)}, ω=e2πi/3
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
3つの調和函数の最大値。折れ目が3本の放射線となり、そこに正のラプラシアン測度が現れます。
\exploreframe{sh}{std-i21}{関数を観察する}std-i22u(z) = min{(z+z)/2, Re(ωz), Re(ω2z)}, ω=e2πi/3
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
3つの調和函数の最小値なので、枝の切り替わる線に負のラプラシアン測度が現れます。
\exploreframe{sh}{std-i22}{関数を観察する}std-i23u(z) = max{log|z−0.48|, log|z+0.48|}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
二つの劣調和函数の最大値。零点付近でも他方の項が有限なので描画でき、枝の切替線に正の測度が現れます。
\exploreframe{sh}{std-i23}{関数を観察する}std-i24u(z) = min{max(log|z−0.48|,−2.4),max(log|z+0.48|,−2.4)}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
切り詰めた対数ポテンシャルは個々には劣調和ですが、最小値をとると枝の切替線に負の特異測度が現れ、非劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-i24}{関数を観察する}std-i25u(z) = log(|z2−0.4|2 + |z−0.25i|2 + 0.262)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
正則写像 f=(z²−0.4,z−0.25i,0.26) に対する log‖f‖² は劣調和。定数成分があるため、実際には狭義劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-i25}{関数を観察する}std-i26u(z) = max{0, zz+2(z2 + z2)/2}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
|z|²+2Re(z²) は狭義劣調和で、0との最大値も劣調和。見た目の鞍型の谷があっても成立します。
\exploreframe{sh}{std-i26}{関数を観察する}std-i27u(z) = min{0, zz+2(z2 + z2)/2}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
枝の内側では u=0、外側では u=|z|²+2Re(z²)。最小を取ることで境界の折れ目に負の測度が出ます。
\exploreframe{sh}{std-i27}{関数を観察する}std-i28u(z) = |(z+z)/2| + 0.8zz
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
折れ目の正の測度に加え、滑らかな部分でも u_{z z̄}=0.8>0。全体として狭義劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-i28}{関数を観察する}std-a10u(z) = gz²−1(2.85z)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
P(w)=w²−1 の逃避率 Green 函数を w=2.85z に制限。劣調和で、Julia 集合の像に正の平衡測度が集中します。
\exploreframe{sh}{std-a10}{関数を観察する}std-a11u(z) = gz²−0.12256+0.74486i(2.85z)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
P(w)=w²−0.12256+0.74486i の Green 函数。フラクタルの形が変わっても、ラプラシアン測度は非負です。
\exploreframe{sh}{std-a11}{関数を観察する}std-a12u(z) = −gz²−1(2.85z)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
Green 函数の負号を取ると、Julia 集合上の平衡測度が負になり、劣調和性が壊れます。
\exploreframe{sh}{std-a12}{関数を観察する}std-a13u(z) = 3gz²−1(2.85z)+1.8zz+2.8(z2 + z2)/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
3G の正の測度と、Hessian が 1.8 の二次形式を加えたもの。鞍型（4.6x²−1.0y²）の凹方向があっても、全体として狭義劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-a13}{関数を観察する}std-a14u(z) = 3gz²−1(2.85z)−1.8zz+2.8(z2 + z2)/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
鞍型 1.0x²−4.6y² には凸方向もあります。しかし Julia 集合から離れた開集合で G は調和なので、u_{z z̄}=−1.8<0 です。
\exploreframe{sh}{std-a14}{関数を観察する}std-a15u(z) = 3gz²−0.12256+0.74486i(2.85z)+1.8zz+2.8 Re(eiπ/4z2)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
Julia 集合の正の測度と、回転した調和二次形式＋1.8|z|² の組合せ。曲率の向きが複雑でも全体は狭義劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-a15}{関数を観察する}std-a16u(z) = 3gz²−0.12256+0.74486i(2.85z)−1.8zz+2.8 Re(eiπ/4z2)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
Julia 集合から離れた領域では Green 函数が調和なので、負の定数 Hessian −1.8 が残ります。
\exploreframe{sh}{std-a16}{関数を観察する}std-a17u(z) = −4gz²−1(2.85z)+1.8zz+2(z2 + z2)/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
Julia 集合の外では Hessian は +1.8 ですが、Julia 集合上には −4 倍の負の平衡測度があります。滑らかな部分だけ見て Yes と判定できない例です。
\exploreframe{sh}{std-a17}{関数を観察する}std-a18u(z) = gz²−1(2.85z)+1.8zz+2(z3 + z3)/2
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
調和な三次成分は曲面を大きく波打たせますが、Green の正の測度に加えて Hessian 1.8 が残ります。
\exploreframe{sh}{std-a18}{関数を観察する}std-a19u(z) = min{2gz²−1(2.85z), 0.65}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
Green 函数を上から切り詰めると、正の勾配を持つ等位線上で負のラプラシアン測度が生まれます。下からの max と逆の現象です。
\exploreframe{sh}{std-a19}{関数を観察する}std-a20u(z) = max{2gz²−1(2.85z), 0.65}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
Green 函数と定数の最大値なので劣調和。等位線に新たな正のラプラシアン測度ができます。
\exploreframe{sh}{std-a20}{関数を観察する}std-a21u(z) = max{2gz²−1(2.85z),1.1zz}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
Green 函数と 1.1|z|² は劣調和で、その最大値も劣調和。枝の切替には正の特異測度が生じます。
\exploreframe{sh}{std-a21}{関数を観察する}std-a22u(z) = log(1+|P3(1.7z)|2), P(w)=w2−1
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
反復多項式の対数ノルム。正則函数 F に対し log(1+|F|²) は劣調和で、Hessian は |F′|²/(1+|F|²)²≥0。
\exploreframe{sh}{std-a22}{関数を観察する}std-a23u(z) = −log(1+|P3(1.7z)|2), P(w)=w2−1+1.5zz
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
反復多項式の対数ノルムに負号を付けて 1.5|z|² を加えました。Hessian は 1.5−|F′|²/(1+|F|²)²。F の零点近傍などで負になる箇所があり非劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-a23}{関数を観察する}log-i07u(z) = exp(zz+(z2 + z2)/2)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立たない。
u=exp(2x²) は非常に凸に見えても、−log u=−2x² の Hessian は −1 です。
\exploreframe{sh}{log-i07}{関数を観察する}log-i08u(z) = exp(−zz+(z2 + z2)/2)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
u=exp(−2y²) は一方向で鋭く下に曲がりますが、−log u=2y² は狭義劣調和です。
\exploreframe{sh}{log-i08}{関数を観察する}log-i09u(z) = 1−zz/1.122
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
−log u は半径 1.12 の円板のポアンカレ計量のポテンシャル（正規化を除く）で、狭義劣調和です。
\exploreframe{sh}{log-i09}{関数を観察する}log-i10u(z) = exp(|(z+z)/2|−1.3zz)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立たない。
−log u=1.3|z|²−|Re z|。滑らかな部分の Hessian は正でも、折れ目に負のラプラシアン測度があるため非劣調和です。
\exploreframe{sh}{log-i10}{関数を観察する}log-i11u(z) = exp(−|(z+z)/2|−1.3zz)
判定する対象：−log(u) の劣調和性
判定と解説を確認
−log(u) の劣調和性は成り立つ。
−log u=1.3|z|²+|Re z|。滑らかな部分も折れ目も非負の測度を与えます。
\exploreframe{sh}{log-i11}{関数を観察する}std-i29u(z) = .24 P.91(z; .2)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
P_q(z;θ)=Re[(1+q e^(−iθ)z/1.055)/(1−q e^(−iθ)z/1.055)]。半径 1.055 の円板上の Dirichlet 問題の解です。境界の急峻な変化がグラフに現れても、Poisson 積分なので複素 Hessian は全点で 0 です。
\exploreframe{sh}{std-i29}{関数を観察する}std-i30u(z) = .24 P.87(z; .65) − .26 P.87(z; 3.45)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
P_q(z;θ)=Re[(1+q e^(−iθ)z/1.055)/(1−q e^(−iθ)z/1.055)]。Dirichlet 境界値は二つの鋭い山・谷。差をとっても調和函数です。
\exploreframe{sh}{std-i30}{関数を観察する}std-i31u(z) = (4/π) Im artanh(z/1.055)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
上半円で +1、下半円で −1 という境界値の Dirichlet 解。段差に見えても内部では調和です。
\exploreframe{sh}{std-i31}{関数を観察する}std-i32u(z) = .75 S(z) + .45 P.78(z; 1.85) − .35 P.80(z; 4.25)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
S(z)=(4/π)Im artanh(z/1.055)、P_q(z;θ)=Re[(1+q e^(−iθ)z/1.055)/(1−q e^(−iθ)z/1.055)]。段差と二つの山谷を合わせた調和函数です。
\exploreframe{sh}{std-i32}{関数を観察する}std-i33u(z) = .7 Re((z/1.028)3) + .36 Re((z/1.028)11) − .27 Im((z/1.028)16)
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
境界付近で急に振動が増す有限Fourier級数のPoisson拡張。正則多項式の実部と虚部の線形結合なので調和です。
\exploreframe{sh}{std-i33}{関数を観察する}std-i34u(z) = .55·(.24 P.91(z; .2)) + 2.3[(zz)2 − .65zz]
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
P_q(z;θ)=Re[(1+q e^(−iθ)z/1.055)/(1−q e^(−iθ)z/1.055)]。前半は Dirichlet 問題の調和解ですが、後半の項の Hessian は 2.3(4|z|²−0.65)。|z|<√(0.65/4) で負です。中央の広い領域を円周で確かめられます。
\exploreframe{sh}{std-i34}{関数を観察する}std-i35u(z) = .5 S(z) − 2.2zz
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
S(z)=(4/π)Im artanh(z/1.055)。段差のような調和函数に −2.2|z|² を足しています。複素 Hessian は恒等的に −2.2 で、どこでも平均値不等式が破れます。
\exploreframe{sh}{std-i35}{関数を観察する}std-a24u(z) = log KAt(.88,.88), t = 1 + 0.15z
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
A_t={0.25<|w|<2.4e^{-φ(t)}}、φ(t)=.24|z|²+.14Re(z³)+.16Re(t⁻⁷−1)。このファイバー族は擬凸な Hartogs 型領域を作り、正則断面 w=.88 に沿う log Bergman 核は劣調和です。核は Laurent 基底から数値計算しています。
\exploreframe{sh}{std-a24}{関数を観察する}std-a25u(z) = log KBt(.88,.88), t = 1 + 0.15z
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立つ。
B_t={0.25<|w|<2.4e^{-ψ(t)}}、ψ(t)=.18|z|²+.24Re(z⁵)−.13Re(t⁻⁸−1)。複雑な起伏は擬凸なファイバーの変動から生じます。正則断面上の log Bergman 核は劣調和です。
\exploreframe{sh}{std-a25}{関数を観察する}std-a26u(z) = log KA(.40+.47zz, .40+.47zz), A={0.25<|w|<1.9}
判定する対象：u の劣調和性
判定と解説を確認
u の劣調和性は成り立たない。
固定円環の Bergman 核そのものは log-psh ですが、ここでは評価点 w=.40+.47|z|² が非正則です。原点では Hessian が負になるため、引き戻しは劣調和ではありません。
\exploreframe{sh}{std-a26}{関数を観察する}N01u(z,w) = |z|² + |w|²
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
Levi形式は diag(1,1) で正定値。
\exploreframe{psh}{N01}{複素直線に制限する}N02u(z,w) = |w|² − |z|²
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
z 方向の Levi 曲率が −1。w 方向の切片は劣調和でも、全体は psh ではありません。
\exploreframe{psh}{N02}{複素直線に制限する}N03u(z,w) = |z + w|²
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
正則函数 z+w の絶対値二乗。Levi行列は [[1,1],[1,1]] ≥ 0。
\exploreframe{psh}{N03}{複素直線に制限する}N04u(z,w) = −|z + w|²
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
z=w=ζ では u(ζ,ζ)=−4|ζ|² となり劣調和性が破れます。
\exploreframe{psh}{N04}{複素直線に制限する}N05u(z,w) = Re(zw)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
正則函数 zw の実部なので多重調和（pluriharmonic）。
\exploreframe{psh}{N05}{複素直線に制限する}N06u(z,w) = |z|² + 2|w|²
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
Levi行列は diag(1,2) で正定値。
\exploreframe{psh}{N06}{複素直線に制限する}N07u(z,w) = |z|² − |w|²
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
w 方向で Levi 曲率が −1 となります。
\exploreframe{psh}{N07}{複素直線に制限する}N08u(z,w) = |z − w|²
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
正則函数 z−w の絶対値二乗。Levi行列は半正定値で、核方向を持ちます。
\exploreframe{psh}{N08}{複素直線に制限する}N09u(z,w) = |z|² + Re(w²)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
Re(w²) は多重調和なのでLevi形式には寄与しません。
\exploreframe{psh}{N09}{複素直線に制限する}N10u(z,w) = −|z|² + Re(w²)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
w 方向は調和ですが、z 方向の Levi 曲率は −1。
\exploreframe{psh}{N10}{複素直線に制限する}A01u(z,w) = |z|² + |w|² − 1.8Re(z w̄)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
Levi行列は [[1,−0.9],[−0.9,1]]、固有値は 1±0.9。座標方向はどちらも狭義劣調和ですが、混合項の大きさが決定的です。
\exploreframe{psh}{A01}{複素直線に制限する}A02u(z,w) = |z|² + |w|² − 2.2Re(z w̄)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
Levi行列は [[1,−1.1],[−1.1,1]]、固有値は 1±1.1。座標方向はどちらも狭義劣調和ですが、混合項の大きさが決定的です。
\exploreframe{psh}{A02}{複素直線に制限する}A03u(z,w) = |z|² + |w|² − 4Re(z w̄)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
Levi行列は [[1,−2],[−2,1]]、固有値は 1±2。座標方向はどちらも狭義劣調和ですが、混合項の大きさが決定的です。
\exploreframe{psh}{A03}{複素直線に制限する}A04u(z,w) = |z|² + |w|² − 2Re(z w̄)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
Levi行列は [[1,−1],[−1,1]]、固有値は 1±1。座標方向はどちらも狭義劣調和ですが、混合項の大きさが決定的です。
\exploreframe{psh}{A04}{複素直線に制限する}A05u(z,w) = |w − z²|²
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
正則函数 w−z² の絶対値二乗で、Levi形式は半正定値（行列式0）。
\exploreframe{psh}{A05}{複素直線に制限する}A06u(z,w) = |z|² + |w|² − 2Re(zw)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
Re(zw) は多重調和。見かけ上の交差項に惑わされず、Levi行列は diag(1,1)。
\exploreframe{psh}{A06}{複素直線に制限する}A07u(z,w) = 0.2|z|² + |w|² − 1.2Re(z w̄)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
座標方向はともに狭義劣調和ですが、Levi行列の行列式は 0.2−0.6²=−0.16。
\exploreframe{psh}{A07}{複素直線に制限する}A08u(z,w) = 0.4|z|² + |w|² − 0.8Re(z w̄)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
Levi行列の対角成分は正で、行列式は 0.4−0.4²=0.24>0。
\exploreframe{psh}{A08}{複素直線に制限する}A09u(z,w) = |zw|²
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
正則函数 zw の絶対値二乗。Levi形式は半正定値で行列式は0。
\exploreframe{psh}{A09}{複素直線に制限する}A10u(z,w) = −|zw|²
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
例えば w=1/2 を固定すると z↦−|z|²/4 は劣調和ではありません。
\exploreframe{psh}{A10}{複素直線に制限する}M01u(z,w) = log(1 + |z|² + |w|²)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
log(|1|²+|z|²+|w|²) は正則函数のノルムの対数でpsh。ここでは Levi行列も正定値です。
\exploreframe{psh}{M01}{複素直線に制限する}M02u(z,w) = −log(1 + |z|² + |w|²)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
原点では Levi 行列は −I。psh ではありません。
\exploreframe{psh}{M02}{複素直線に制限する}M03u(z,w) = |z|² + |w|² − 3|zw|²
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
例えば w=0.7 では u_{z z̄}=1−3(0.7)²<0。内部で座標方向の劣調和性も失います。
\exploreframe{psh}{M03}{複素直線に制限する}M04u(z,w) = |z|² + |w|² + |zw|²
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
三つの正則函数 z,w,zw の絶対値二乗の和なのでpsh。
\exploreframe{psh}{M04}{複素直線に制限する}M05u(z,w) = |w − z²|² − 0.2|z|²
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
原点で u_{z z̄}=−0.2。非負函数に見える主項だけでは判断できません。
\exploreframe{psh}{M05}{複素直線に制限する}M06u(z,w) = |w − z²|² + 0.2|z|²
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
正則函数の絶対値二乗と正の倍数の |z|² の和。Levi行列の行列式は常に0.2です。
\exploreframe{psh}{M06}{複素直線に制限する}M07u(z,w) = |z|⁴ + |w|⁴ − 0.4Re(z w̄)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
両座標切片は劣調和。しかし原点でLevi行列は [[0,−0.2],[−0.2,0]]、負の固有値を持ちます。
\exploreframe{psh}{M07}{複素直線に制限する}M08u(z,w) = |z|⁴ + |w|⁴
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
Levi行列は diag(4|z|²,4|w|²)≥0。原点では退化しています。
\exploreframe{psh}{M08}{複素直線に制限する}M09u(z,w) = |z|² + |w|² + 3Re(z² w̄)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
座標方向はどちらも狭義劣調和ですが、Levi固有値は 1±3|z|。|z|>1/3 で負の方向があります。
\exploreframe{psh}{M09}{複素直線に制限する}M10u(z,w) = |z|² + |w|² + Re(z² w̄)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
Levi固有値は 1±|z|。|z|<1 のため、Δ×Δ の全域で正定値です。
\exploreframe{psh}{M10}{複素直線に制限する}S01u(z,w) = max(|z|², |w|²)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
二つのpsh函数の最大値はpshです。|z|=|w| に折れ目があっても問題ありません。
\exploreframe{psh}{S01}{複素直線に制限する}S02u(z,w) = min(|z|², |w|²)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
最小値ではpsh性が保存されません。枝が入れ替わる折れ目を跨ぐ円板で平均値不等式が破れます。
\exploreframe{psh}{S02}{複素直線に制限する}S03u(z,w) = max(|z + w|², |z − w|²)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立つ。
二つの正則函数 z+w, z−w の絶対値二乗の最大値。切替集合では折れますがpshです。
\exploreframe{psh}{S03}{複素直線に制限する}S04u(z,w) = min(|z + w|², |z − w|²)
判定する対象：u の多重劣調和性
判定と解説を確認
u の多重劣調和性は成り立たない。
二つの枝はいずれもpshですが、最小値の切替集合には負の円周平均差が現れます。
\exploreframe{psh}{S04}{複素直線に制限する}n01Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < 0.90 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
切り口が常に同じ円板になる領域。
\exploreframe{ryokuinzu}{n01}{領域の切断を観察する}n02Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−0.65|z|²) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
原点から離れると、切り口の円板が小さくなる。
\exploreframe{ryokuinzu}{n02}{領域の切断を観察する}n03Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(+0.65|z|²) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
原点から離れると、切り口の円板が大きくなる。
\exploreframe{ryokuinzu}{n03}{領域の切断を観察する}n04Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−0.8 Re(z²)) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
方向によって半径の増減が異なるが、ポテンシャルは調和的。
\exploreframe{ryokuinzu}{n04}{領域の切断を観察する}n05Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(0.5|z|² − 0.6 Re(z²)) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
調和的な項を加えても、負の複素 Hessian は改善しない。
\exploreframe{ryokuinzu}{n05}{領域の切断を観察する}n06Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.65z| < 0.90 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
中心が正則に平行移動する円板。
\exploreframe{ryokuinzu}{n06}{領域の切断を観察する}n07Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.65z| < exp(−0.40|z|²) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
中心が移動しながら、半径が小さくなる円板。
\exploreframe{ryokuinzu}{n07}{領域の切断を観察する}n08Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.65z| < exp(+0.45|z|²) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
中心が移動しながら、半径が大きくなる円板。
\exploreframe{ryokuinzu}{n08}{領域の切断を観察する}n09Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.55z²| < 0.85 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
円板の中心が曲線に沿って移動する。
\exploreframe{ryokuinzu}{n09}{領域の切断を観察する}n10Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−0.55|z|⁴) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
原点では半径の曲率が退化する。
\exploreframe{ryokuinzu}{n10}{領域の切断を観察する}n11Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(+0.55|z|⁴) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
z = 0 での2次の変化では見えない、4次の障害。
\exploreframe{ryokuinzu}{n11}{領域の切断を観察する}a01Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−[0.30|z|² + 0.85 Re(z²)]) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
実凸性と複素変数についての劣調和性を見比べる例。
\exploreframe{ryokuinzu}{a01}{領域の切断を観察する}a02Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−[−0.35|z|² + 0.85 Re(z²)]) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
見た目を支配する調和的な項が、負の Hessian を見えにくくする。
\exploreframe{ryokuinzu}{a02}{領域の切断を観察する}a03Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.45z² − 0.25iz| < exp(−[0.35|z|² + 0.45 Re(z³)]) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
中心が多項式に従って動き、半径が方向によって異なる。
\exploreframe{ryokuinzu}{a03}{領域の切断を観察する}a04Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.45z² − 0.25iz| < exp(−[−0.38|z|² + 0.45 Re(z³)]) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
複素曲率の符号だけを変えた例。
\exploreframe{ryokuinzu}{a04}{領域の切断を観察する}a05Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−[0.15|z|² + 0.23|z|⁴]) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
正の動径方向の曲率が、円板の縁に近づくにつれて強くなる。
\exploreframe{ryokuinzu}{a05}{領域の切断を観察する}a06Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−[0.30|z|² − 0.24|z|⁴]) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
境界に近づくにつれて、曲率の符号が変わる。
\exploreframe{ryokuinzu}{a06}{領域の切断を観察する}a07Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(−[−0.12|z|² + 0.28|z|⁴]) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
円板の大部分では条件を満たすが、中心付近では満たさない。
\exploreframe{ryokuinzu}{a07}{領域の切断を観察する}a08Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < 1.05, |w − 0.72z| < 0.88 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
固定円板と、正則に移動する円板の共通部分。
\exploreframe{ryokuinzu}{a08}{領域の切断を観察する}a09Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.60z| < 0.96, |w + 0.55z| < 0.96 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
二つの動く円板が作るレンズ型の切り口。
\exploreframe{ryokuinzu}{a09}{領域の切断を観察する}a10Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(+0.55|z|²), |w − 0.65z| < 1.27 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
大きくなる円板を別の円板で切っても、非擬凸な境界部分が残る。
\exploreframe{ryokuinzu}{a10}{領域の切断を観察する}a11Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < 1.30, |w − 0.40z²| < exp(−0.27|z|²) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
非線形に移動する中心と縮小する半径の制約が作るレンズ型。
\exploreframe{ryokuinzu}{a11}{領域の切断を観察する}m01Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0.30 < |w| < 1.25 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
すべての切り口が同じ環状領域になる。
\exploreframe{ryokuinzu}{m01}{領域の切断を観察する}m02Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0.30 exp(0.18|z|²) < |w| < 1.23 exp(−0.20|z|²) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
内外の境界が、どちらも擬凸となる方向へ曲がる。
\exploreframe{ryokuinzu}{m02}{領域の切断を観察する}m03Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0.30 exp(−0.45|z|²) < |w| < 1.20 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
内側の境界が、擬凸性に反する方向へ曲がる。
\exploreframe{ryokuinzu}{m03}{領域の切断を観察する}m04Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0.30 < |w| < 1.20 exp(+0.50|z|²) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
外側の境界が負の曲率を持つ。
\exploreframe{ryokuinzu}{m04}{領域の切断を観察する}m05Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0.30 exp(0.25|z|²) < |w − 0.38z| < 1.22 exp(−0.10|z|²) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
正則に平行移動する環状領域。
\exploreframe{ryokuinzu}{m05}{領域の切断を観察する}m06Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.38z³ − 0.25iz²| < exp(−[0.12|z|² + 0.22|z|⁴ + 0.70 Re(z³)]) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
方向による強い変形があっても、複素曲率は正に保たれる。
\exploreframe{ryokuinzu}{m06}{領域の切断を観察する}m07Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.38z³ − 0.25iz²| < exp(−[0.38|z|² − 0.28|z|⁴ + 0.70 Re(z³)]) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
縁の近くで複素曲率の符号が変わる。
\exploreframe{ryokuinzu}{m07}{領域の切断を観察する}m08Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w − 0.45z| < 1.05, |w + 0.40z| < 1.04, |w − 0.30i| < 1.12 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
中心が正則に動く三つの円板の共通部分。
\exploreframe{ryokuinzu}{m08}{領域の切断を観察する}m09Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < exp(+0.45|z|²), |w − 0.50z| < 1.28, |w + 0.35z| < 1.28 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
追加の二つの制約が、局所的に非擬凸な境界を見えにくくする。
\exploreframe{ryokuinzu}{m09}{領域の切断を観察する}n12Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < 0.90, (|z| > 0.38 or |w| < 0.33) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
中央の細い芯と外側の太い部分を持つ、古典的な Hartogs 図形。
\exploreframe{ryokuinzu}{n12}{領域の切断を観察する}n13Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w| < 0.80 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
w 方向の半径が小さい双円板。
\exploreframe{ryokuinzu}{n13}{領域の切断を観察する}n14Ω = { (z,w) : |z| < 1, |Re w|<0.64, |Im w|<0.56, Re(z+w)<1.05, Im(w−z)<1.00 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
実アフィン半空間と底面の円板の共通部分として得られる凸領域。
\exploreframe{ryokuinzu}{n14}{領域の切断を観察する}n15Ω = { (z,w) : |z| < 1, |Re w|<0.70, |Im w|<0.60, (Re z>0.08 or Re w<−0.08) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
実多面体の内向きの角が非擬凸性を生む。
\exploreframe{ryokuinzu}{n15}{領域の切断を観察する}n16Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w|<0.95, |w² − 0.72z|<0.42 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
切り口が非連結になることもある正則多面体。
\exploreframe{ryokuinzu}{n16}{領域の切断を観察する}n17Ω = { (z,w) : |z| < 1, u=(z−w)/√2, v=(z+w)/√2, |u|<0.62, |v|<0.62 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
半径を縮小した双円板のユニタリ像。切り口はレンズ型になる。
\exploreframe{ryokuinzu}{n17}{領域の切断を観察する}a12Ω = { (z,w) : |z| < 1, u=(z−w)/√2, v=(z+w)/√2, |u|,|v|<0.62, (|u|>0.29 or |v|<0.23) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
二つの複素座標を混ぜるユニタリ変換で回転した Hartogs 図形。
\exploreframe{ryokuinzu}{a12}{領域の切断を観察する}a13Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w−0.36z²|<0.76 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
双円板に多項式自己同型を施した領域。切り口の円板は正則に移動する。
\exploreframe{ryokuinzu}{a13}{領域の切断を観察する}a14Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w−0.52z²|<0.90, (|z|>0.38 or |w−0.52z²|<0.33) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
自己同型 (z,v)↦(z,v+0.52z²) による Hartogs 図形の像。
\exploreframe{ryokuinzu}{a14}{領域の切断を観察する}a15Ω = { (z,w) : |z| < 1, |w−0.28z²|<0.95, |(w−0.28z²)²−0.72z|<0.42 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
w 方向の2次の剪断変形を施した正則多面体。
\exploreframe{ryokuinzu}{a15}{領域の切断を観察する}a16Ω = { (z,w) : |z| < 1, |u|<0.62, |v|<0.62, u=cos(π/6)z−sin(π/6)w, v=sin(π/6)z+cos(π/6)w }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
対称性の低い回転によって得られる、双円板の別のユニタリ像。
\exploreframe{ryokuinzu}{a16}{領域の切断を観察する}a17Ω = { (z,w) : |z| < 1, |z|<1, |Re(w−0.22z²)|<0.64, |Im(w−0.22z²)|<0.56, Re(z+w−0.22z²)<1.05, Im(w−0.22z²−z)<1.00 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
実凸多面体領域に、正則な2次の剪断変形を施した領域。
\exploreframe{ryokuinzu}{a17}{領域の切断を観察する}m10Ω = { (z,w) : |z| < 1, u=z−0.42w², v=w, |u|,|v|<0.62, (|u|>0.29 or |v|<0.23) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
底面の座標も混ぜる三角型多項式自己同型による Hartogs 図形の像。
\exploreframe{ryokuinzu}{m10}{領域の切断を観察する}m11Ω = { (z,w) : |z| < 1, u=z−0.38w², v=w, |u|<0.62, |v|<0.62, |v²−0.72u|<0.42 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
底面と切り口の座標を2次式で混ぜた正則多面体。
\exploreframe{ryokuinzu}{m11}{領域の切断を観察する}m12Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0<|z|<1, |w−exp(i t)|²<1−η(t), t=log(|z/0.16|²), η(t)=0.60·max(|t|−2.20,0)⁴ }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
円板の切り口が回転する、滑らかな擬凸 Diederich–Fornæss 型ワーム領域。
\exploreframe{ryokuinzu}{m12}{領域の切断を観察する}m13Ω = { (z,w) : |z| < 1, u=cos(π/6)z−sin(π/6)w, v=sin(π/6)z+cos(π/6)w, |u|,|v|<0.62, (|u|>0.29 or |v|<0.23) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
対称性の低いユニタリ回転を施した Hartogs 図形。
\exploreframe{ryokuinzu}{m13}{領域の切断を観察する}m14Ω = { (z,w) : |z| < 1, |z|<1, |Re(w−0.30z²)|<0.70, |Im(w−0.30z²)|<0.60, (Re z>0.08 or Re(w−0.30z²)<−0.08) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
非擬凸かつ非凸な実多面体領域に、双正則な剪断変形を施した領域。
\exploreframe{ryokuinzu}{m14}{領域の切断を観察する}m15Ω = { (z,w) : |z| < 1, |z|<1, |w|<0.73, |w³−0.50z|<0.20 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
切り口の連結性が変化する、3次式による正則多面体。
\exploreframe{ryokuinzu}{m15}{領域の切断を観察する}n18Ω = { (z,w) : |z| < 1, (|z| < 0.48 and |w| < 1) or (0.40 < |w| < 1) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
標準 Hartogs 図形。中央の円板が |z| = 0.48 の外側で環状領域になる。
\exploreframe{ryokuinzu}{n18}{領域の切断を観察する}n19Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0.30 exp(−0.20|z|²) < |w| < 1.20 exp(+0.24|z|²) }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立たない。
環状の帯が外に向かって両側に広がり、内半径の対数が劣調和でなくなる。
\exploreframe{ryokuinzu}{n19}{領域の切断を観察する}n20Ω = { (z,w) : |z| < 1, 0.30 < |w − 0.30z| < 1.10 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
形を変えずに正則に平行移動する環状領域。
\exploreframe{ryokuinzu}{n20}{領域の切断を観察する}lecture-ballΩ = { (z,w) ∈ ℂ² : |z|² + |w|² < 1 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
ℂ² の単位開球。固定した z の切り口は半径 √(1−|z|²) の円板。
\exploreframe{ryokuinzu}{lecture-ball}{領域の切断を観察する}lecture-polydiscΩ = { (z,w) ∈ ℂ² : |z| < 1, |w| < 1 }
判定する対象：領域の擬凸性
判定と解説を確認
領域の擬凸性は成り立つ。
単位双円板 Δ × Δ。すべての z で切り口は単位円板。
\exploreframe{ryokuinzu}{lecture-polydisc}{領域の切断を観察する}該当する例がありません。
収録数：Subharmonic? 106 / Plurisubharmonic? 34 / 緑陰図 — Pseudoconvex? 54。任意のTeX数式を解析して新しい図を作る機能は、この版には含まれません。