Diederich–Fornæss Worm Domain の VR 可視化
Codex 引継ぎ用設計メモ

原資料の日付：2026年9月

このHTML閲覧版は、実装時に渡されたTeX原本から2026年9月10日に作成しました。見出し・リスト・数式をブラウザー向けに表示し直しています。本文の計画・優先順位は原資料の時点のものです。現在の実装状況は紹介ページをご覧ください。

HTML reading edition of the supplied Japanese implementation brief, prepared on 10 September 2026. The original TeX is available above. Plans in the document retain their original status.

この文書の位置づけ

本メモは、Diederich–Fornæss の worm domain を 3D VR で可視化するための Codex 引継ぎ資料である。

これは、別途進めている

Nemirovski 型 Levi-flat、
Diederich–Ohsawa 型 Levi-flat

の可視化とは数学的内容としては別プロジェクトである。一方で、同じ VR 環境の中で観察することを想定しているため、

色の意味、
navigator の置き方、
視点移動、
controller 操作、
“数学パラメータを動かすと主表示が即時に連動する”という思想

は可能な限り共通化する。

この worm 可視化の第一目的は、

\boxed{ \text{複雑な定義不等式を、回転する円板断面の族として直観的に見る} }

ことである。

特に、

e^{i\log |z|^{2}}

が断面円板の中心を回転させ、 bounded worm ではさらに

\eta(\log|z|^{2})

が断面半径を変化させて cap を作ることを、 3D geometry と実関数の graph を同時に見ながら理解できる表示を目指す。

主要文献

元論文

worm domain の歴史的・数学的出発点として、以下を記録する。

Klas Diederich and John Erik Fornæss,
Pseudoconvex domains: an example with nontrivial Nebenhülle,
Mathematische Annalen 225 (1977), no.~3, 275–292.
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01425243.

これは smooth bounded pseudoconvex domain でありながら nontrivial Nebenhülle を持つ古典的な worm domain の元論文である。

今回の実装で直接参照する現代的記述

今回の数式実装では、次のプレプリントの記法を主に参照する。

Fani Xerakia,
Automorphisms of the Worm Domain,
arXiv:2511.10614 (2025).
https://arxiv.org/abs/2511.10614
PDF: https://arxiv.org/pdf/2511.10614.

このプレプリントの Definition~1 には bounded Diederich–Fornæss worm が

W_{\mu} = \left\{ (z,w)\in\mathbb{C}^{2}: \left|w-e^{i\log|z|^{2}}\right|^{2} < 1-\eta(\log|z|^{2}), \quad z\neq0 \right\}

という形で書かれている。

また、その後の simplified model として

\boxed{ W^{\mathrm{un}} = \left\{ (z,w)\in\mathbb{C}^{2}: \left|w-e^{i\log|z|^{2}}\right|^{2}<1, \quad z\neq0 \right\} }

という unbounded / “capless” worm が導入されている。

今回の VR 実装は、

\boxed{\text{まず capless model を作り、その後 bounded model に拡張する}}

という順番を基本方針とする。

なぜ 3D に落とせるか

回転対称性

定義式は $z$ について $\arg z$ を見ず、

s:=\log|z|^{2}\in\mathbb{R}

だけに依存する。

したがって $z$-rotation

(z,w)\longmapsto(e^{i\theta}z,w)

は domain を保つ。

そこで

(z,w)\in\mathbb{C}^{2}

という $4$ 実次元の表示をそのまま描く代わりに、この $S^{1}$ 対称性を落として

\boxed{ (s,\Re w,\Im w)\in\mathbb{R}^{3} }

で表示する。

同値に、各 rotation orbit の代表として

z=e^{s/2}>0

を選んでいると考えてもよい。

重要な意味付け.

この 3D object は $\mathbb{C}^{2}$ 全体の Euclidean geometry を忠実に $\mathbb{R}^{3}$ に埋め込んだものではない。しかし worm の defining inequality が依存する全変数

\[ (s,w) \]

を保持しているため、 $z$-rotation symmetry による quotient / canonical representative model として、今回見たい worm の幾何を直接表している。

共通する断面幾何

$s=\log|z|^{2}$ を固定すると、 $w$-plane での断面は円板になる。

bounded worm

\left|w-e^{is}\right|^{2}<1-\eta(s).

よって、断面円板の中心は

\boxed{ c(s)=e^{is}=(\cos s,\sin s) }

であり、存在する範囲 $\eta(s)<1$ では半径は

\boxed{ R(s)=\sqrt{1-\eta(s)}. }

注意：定義式は距離の二乗に対する不等式なので、半径は $1-\eta(s)$ ではなく

\sqrt{1-\eta(s)}

である。

capless / unbounded worm

\left|w-e^{is}\right|^{2}<1,

したがって

\boxed{R(s)\equiv1.}

この場合、中心線は

\boxed{ \Gamma(s)= \bigl(s,\cos s,\sin s\bigr) }

という helix であり、その各 $s$-slice に半径 $1$ の円板を置く。

したがって reduced 3D model は直観的には

\boxed{ \text{回転する中心線に沿って、一定半径の円板断面が連続する worm} }

である。

“軸に触れながら回る”という見え方

capless model では

|0-e^{is}|=1

なので、すべての $s$ に対して

\[ w=0 \]

が boundary 上にある。

3D reduced coordinates では

\boxed{ \mathcal A_{\mathrm{red}} = \{(s,0,0):s\in\mathbb{R}\} }

が boundary 上の distinguished axis になる。

つまり各 $w$-disc は

\text{center }e^{is},\qquad \text{radius }1

なので、原点 $w=0$ にちょうど接し、その接点を保ちながら中心が $w$-plane 内を回転する。

これが VR で

\boxed{ \text{``軸に触れつつ、くるくる回ってできる領域''} }

として見せたい直観である。

full $\mathbb{C}^{2}$ では Xerakia が

A^{\mathrm{un}} = \{(z,0)\in\partialW^{\mathrm{un}}\}

と書く exceptional locus があり、 $z$-rotation を quotient した 3D model では上の axis として見える。

Phase W1：最初に実装する capless worm

今回の最優先モデル

まず

\boxed{ W^{\mathrm{un}} = \left\{ (s,w)\in\mathbb{R}\times\mathbb{C}: |w-e^{is}|<1 \right\} }

の reduced 3D model を実装する。

これは実装上

w=e^{is}+r e^{i\phi}, \qquad 0\le r<1, \quad \phi\in[0,2\pi)

と parameterize できる。

boundary は

\boxed{ w=e^{is}+e^{i\phi}. }

すなわち boundary mesh の基本 parameterization は

\boxed{ X(s,\phi) = \left( s,\, \cos s+\cos\phi,\, \sin s+\sin\phi \right). }

$s$ は unbounded なので、VR では有限 window

s_{\min}\le s\le s_{\max}

だけ表示し、この window を移動できるようにする。

W1 で必ず表示するもの

worm boundary の半透明 surface、
必要なら interior を理解するための薄い volume / selected discs、
center helix
$\Gamma(s)=(s,\cos s,\sin s),$
distinguished axis
$\[ (s,0,0), \]$
現在選択している $s=s_{0}$ の cross-section disc、
その disc の center $e^{is_{0}}$、
radius $R=1$。

boundary surface だけでは内部が分かりにくい場合は、 selected $s$ における disc を強調表示することを優先する。

Phase W2：bounded worm と cap

W1 が軽快かつ分かりやすく動いた後、 bounded worm

|w-e^{is}|^{2}<1-\eta(s)

を追加する。

$\eta$ の条件

Xerakia の Definition~1 に合わせ、 $\eta:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は smooth で

$\eta\ge0$、even、convex、
$\eta^{-1}(0)=[-\mu,\mu],$
十分大きな $|s|$ では $\eta(s)>1$、
$\eta(s)=1$ の点では $\eta'(s)\neq0$

を満たすものとする。

$\eta(s)<1$ の範囲だけ cross-section が存在し、

R(s)=\sqrt{1-\eta(s)}

となる。

$\eta(s)=1$ で

\[ R(s)=0 \]

となり、3D reduced model の両端が閉じる。これが cap の可視化になる。

実装用の explicit $\eta$ 候補

元論文・Xerakia の条件を満たす関数は一意ではない。 VR では、条件を満たし、graph が理解しやすい具体例を一つ固定してよい。

例えば

\psi(t)= \begin{cases} 0,&t\le0,\\ e^{-1/t},&t>0 \end{cases}

とし、

F(t)= \begin{cases} 0,&t\le0,\\ \displaystyle\int_{0}^{t}(t-u)\psi(u)\,du,&t>0 \end{cases}

と置く。

すると

F''(t)=\psi(t)\ge0

なので $F$ は smooth convex で、$t=0$ まで flat に接続する。

chosen transition length $L>0$ に対し

\boxed{ \eta_{\mu,L}(s) = \frac{F(|s|-\mu)}{F(L)} }

とすれば、

\eta=0\quad (|s|\le\mu), \qquad \eta=1\quad (|s|=\mu+L)

となり、その外側では $\eta>1$ になる。

これはVR 用の一つの explicit profileであり、歴史的元論文でこの特定の式を採用している、という意味ではない。必要なら後から別の admissible $\eta$ に差し替えられるようにする。

bounded worm の distinguished locus

中央区間

|s|\le\mu

では

\eta(s)=0,\qquad R(s)=1.

したがって

\[ w=0 \]

が boundary 上にあり、 full worm での weakly pseudoconvex exceptional annulus は、 reduced 3D model では

\boxed{ \mathcal A_{\mathrm{red}} = \{(s,0,0):|s|\le\mu\} }

という axis segment に見える。

Phase W2 ではこの segment を必ず強調表示し、 caps や strongly pseudoconvex part と視覚的に区別する。

連動表示：3D geometry と数式を同時に理解する

このプロジェクトでは 3D worm 単体を表示するだけでなく、定義式の各項が何をしているかを連動表示する。

View A：main 3D worm

(s,\Re w,\Im w)

空間に worm boundary / selected cross-sections を描く。

常時または toggle で

center helix、
distinguished axis / axis segment、
current $s$-slice

を表示する。

View B：実関数 graph

Phase W2 では横に

\eta(s)

または、より幾何学的に直接的な

\boxed{R(s)=\sqrt{1-\eta(s)}}

の graph を表示する。

できれば UI で

\eta(s) \quad\longleftrightarrow\quad R(s)

を toggle できる。

graph 上に現在値 $s=s_{0}$ を marker で示し、同時に

\eta(s_{0}),\qquad R(s_{0})

を表示する。

View C：current $w$-plane section

現在の $s=s_{0}$ に対し

\boxed{ |w-e^{is_{0}}|<R(s_{0}) }

という円板を 2D diagram として表示する。

最低限、

$w=0$、
center $e^{is_{0}}$、
boundary circle、
radius $R(s_{0})$

を示す。

これにより

\text{graph の radius} \longleftrightarrow \text{$w$-plane の円板} \longleftrightarrow \text{3D worm の断面}

の対応を一目で追えるようにする。

ユーザー操作の基本方針

Levi-flat 可視化と操作感を揃える。

推奨基本操作

一方の stick：視点移動 / locomotion、
他方の stick：現在選択中の数学パラメータを連続変更、
少数の button：変更対象や表示 mode を切り替える。

複雑な chord 操作や、多数の mode を覚えさせる設計は避ける。

主要パラメータ

W1 では主に

s_{0}, \qquad [s_{\min},s_{\max}]

を動かす。

W2 では追加で

\mu,\qquad L

または equivalent な $\eta$ profile parameter を変更可能にしてもよい。

ただし初期版では

\mu,\ L

を固定し、 $s_{0}$ の移動だけでも十分である。 UI の単純さを優先する。

近接観察

worm boundary、 distinguished axis / exceptional segment、 cap、 current cross-section に近づき、自由に回り込んで観察できること。

特に

\[ w=0 \]

近傍で boundary がどのように接するかを見たいので、 near clipping plane や camera collision が観察を妨げないようにする。

色・表示文法の共通化

具体的な色番号は Codex / 実装側で決めてよいが、既存 Levi-flat VR と意味を揃える。

例えば

主 object boundary：共通の neutral / translucent material、
現在選択中の slice / curve：既存 project と同じ “active selection” 色、
distinguished / exceptional locus：既存 project の “special mathematical locus” 色、
graph の current marker：active slice と同色

とする。

色だけで情報を区別せず、 line thickness、marker、label 等も併用する。

数学的に誤解させないための注意

3D model は symmetry reduction

(s,\Re w,\Im w)

model を “worm domain itself in $\mathbb{R}^{3}$” と無条件に呼ばず、必要に応じて

\text{``$z$-rotation reduced model''}

または

\text{``$\arg z=0$ representative model''}

と表示する。

radius の二乗

必ず

|w-e^{is}|^{2}<1-\eta(s)

から

R(s)=\sqrt{1-\eta(s)}

とする。

unbounded model と original bounded worm の区別

$W^{\mathrm{un}}$ は今回の可視化導入に非常に適するが、 Diederich–Fornæss の original bounded worm そのものではない。

UI / documentation では

“Capless / unbounded simplified worm”、
“Bounded Diederich–Fornæss worm”

を明確に区別する。

Codex に委任する実装判断

以下は Codex が性能・操作性を見て判断してよい。

boundary mesh の sampling density、
$s$ window の長さ、
center helix / axis の line rendering 方法、
volume を半透明で塗るか、boundary + selected discs のみにするか、
View B / View C を world-space panel にするか HUD にするか、
graph labels の密度、
W1 / W2 を別 scene にするか toggle にするか、
LOD / culling / GPU mesh の使用、
controller の左右割り当て。

ただし以下は保持する。

current $s$ と 3D slice と graph marker が常に連動する。
center $e^{is}$ の回転が明瞭に見える。
capless model では $w=0$ axis に接しながら回ることが見える。
bounded model では $R(s)$ の変化と cap formation が対応して見える。
weakly pseudoconvex exceptional segment を見失わない。
視点移動と数学パラメータ操作を複雑にしない。
既存 Levi-flat 可視化と UI / 色の意味を可能な限り統一する。

今回の実装スコープ

優先順位は以下。

必須：Phase W1

\boxed{ |w-e^{is}|<1 }

の capless 3D reduced worm。

boundary、
center helix、
$w=0$ axis、
current $s$-disc、
$s$ controller、
current $w$-section diagram

を実装する。

次段階：Phase W2

\boxed{ |w-e^{is}|^{2}<1-\eta(s) }

の bounded worm。

explicit admissible $\eta$、
$\eta$ / $R$ graph、
cap、
exceptional axis segment

を追加する。

Future work

今回の初期実装では必須としない。

original 1977 construction の全細部を UI 上で再現すること。
$\eta$ の複数 profile を比較する機能。
Levi form の値や Levi eigenvalue を surface 上に overlay すること。
strongly pseudoconvex / weakly pseudoconvex locus の quantitative visualization。
Stein neighborhood basis / Nebenhülle の幾何を別 object として可視化すること。
Bergman projection / Condition R / $\bar\partial$-Neumann phenomena の可視化。
full $4$ real dimensional $\mathbb{C}^{2}$ data の別表現。
Nemirovski / Diederich–Ohsawa Levi-flat models と同時表示して比較すること。

これらは、まず “worm の定義式そのものが目で理解できる” Phase W1–W2 が成功した後の発展課題とする。

最低限の実装チェック項目

W1 で center が
$e^{is}$
に従って正しく一周するか。
各 $s$-slice の半径が W1 では常に $1$ か。
W1 で $w=0$ が全 $s$ について boundary 上にあるか。
current $s$ を動かすと 3D slice、2D section、graph marker が同期するか。
W2 では
$R(s)=\sqrt{1-\eta(s)}$
が正しく使われているか。
$|s|\le\mu$ で $R(s)=1$ になっているか。
$\eta(s)=1$ で cross-section が半径 $0$ に閉じるか。
W2 で exceptional locus が reduced model の axis segment として見えるか。
worm に近づいても clipping / transparency のために形が読めなくならないか。
UI が Levi-flat project と同程度の操作複雑度に収まっているか。

一行での設計要約

\boxed{ s=\log|z|^{2}\text{ を横軸にし、 中心 }e^{is}\text{、半径 }\sqrt{1-\eta(s)} \text{ の円板族を 3D で ``worm'' として見る。} }

まずは

\boxed{ R(s)\equiv1 }

の capless worm で “軸に接しながら中心がくるくる回る” 幾何を見せ、次に $\eta$ の graph と連動させて bounded worm の cap formation を見せる。

Diederich–Fornæss Worm Domain の VR 可視化
Codex 引継ぎ用設計メモ

この文書の位置づけ

主要文献

元論文

今回の実装で直接参照する現代的記述

なぜ 3D に落とせるか

回転対称性

重要な意味付け.

共通する断面幾何

bounded worm

capless / unbounded worm

“軸に触れながら回る”という見え方

Phase W1：最初に実装する capless worm

今回の最優先モデル

W1 で必ず表示するもの

Phase W2：bounded worm と cap

\(\eta\) の条件

実装用の explicit \(\eta\) 候補

bounded worm の distinguished locus

連動表示：3D geometry と数式を同時に理解する

View A：main 3D worm

View B：実関数 graph

View C：current \(w\)-plane section

ユーザー操作の基本方針

推奨基本操作

主要パラメータ

近接観察

色・表示文法の共通化

数学的に誤解させないための注意

3D model は symmetry reduction

radius の二乗

unbounded model と original bounded worm の区別

Codex に委任する実装判断

今回の実装スコープ

必須：Phase W1

次段階：Phase W2

Future work

最低限の実装チェック項目

一行での設計要約

Diederich–Fornæss Worm Domain の VR 可視化Codex 引継ぎ用設計メモ

この文書の位置づけ

主要文献

元論文

今回の実装で直接参照する現代的記述

なぜ 3D に落とせるか

回転対称性

重要な意味付け.

共通する断面幾何

bounded worm

capless / unbounded worm

“軸に触れながら回る”という見え方

Phase W1：最初に実装する capless worm

今回の最優先モデル

W1 で必ず表示するもの

Phase W2：bounded worm と cap

\(\eta\) の条件

実装用の explicit \(\eta\) 候補

bounded worm の distinguished locus

連動表示：3D geometry と数式を同時に理解する

View A：main 3D worm

View B：実関数 graph

View C：current \(w\)-plane section

ユーザー操作の基本方針

推奨基本操作

主要パラメータ

近接観察

色・表示文法の共通化

数学的に誤解させないための注意

3D model は symmetry reduction

radius の二乗

unbounded model と original bounded worm の区別

Codex に委任する実装判断

今回の実装スコープ

必須：Phase W1

次段階：Phase W2

Future work

最低限の実装チェック項目

一行での設計要約

Diederich–Fornæss Worm Domain の VR 可視化
Codex 引継ぎ用設計メモ