HOLOMORPHONAUTICA / FIELD NOTES 01
「どの向きから見るか」が、数学的な判定を変える。
円周を使う観察から、複素多変数の世界へ。The direction you choose can change what you see.
From circles on a graph to functions of several complex variables.
01 / A CIRCLE AROUND A POINT
関数 u が劣調和とは、大まかには「中心の値が、周りの円周上の値の平均を超えない」ことです。領域に閉円板が収まる、どの中心 a・半径 r についても確かめます。一つの円で成立するだけでは足りません。
Subharmonicity means that the value at a center does not exceed the average around it, for every closed disc contained in the domain. One successful circle is not enough.
定義では上半連続性も要求します（近くからの極限で、値が上に飛び越さない性質）。一般には −∞ も許します。滑らかな実数値関数なら、劣調和であることは Δu = uxx + uyy ≥ 0 と同値です。全方向に凸である必要はありません。
The definition also requires upper semicontinuity; values of −∞ are allowed. For a smooth real-valued function, subharmonicity is equivalent to Δu = uxx + uyy ≥ 0. Convexity in every real direction is stronger.
02 / EVERY COMPLEX DIRECTION
複素 n 変数の関数 u では、点 a と方向 v∈ℂⁿ を選び、ζ↦u(a+ζv) を見ます。ζ は複素数なので、これは実1次元の線ではなく実2次元の切り口です。上半連続な u が、どの複素直線上でも劣調和（または恒等的に −∞）なら、多重劣調和（plurisubharmonic、略して psh）と呼びます。
For u of n complex variables, choose a point a and direction v∈ℂⁿ and restrict to ζ↦u(a+ζv). Since ζ is complex, the slice has two real dimensions. An upper semicontinuous u is plurisubharmonic (psh) when every such restriction is subharmonic or identically −∞.
滑らかな場合は、複素 Hessian（Levi 形式）がすべての v に対して非負であることと同値です。z 方向と w 方向を別々に見るだけでは、斜め方向の負の曲率を見逃します。
For smooth u, the complex Hessian, or Levi form, must be nonnegative in every direction. Checking the z and w axes alone can miss negative curvature in a mixed direction.
ここでは c=1+2 sin(2θ)。θ=−45° で c=−1 となり、円周平均が中心より低くなります。この一方向だけで非 psh と分かります。このスライダーで動かせるのは複素方向の一部であり、すべてを走査しているわけではありません。
Here c=1+2 sin(2θ). At θ=−45°, c=−1 and the circle mean is below the center: one direction disproves psh. This slider explores only a subset of complex directions.
Plurisubharmonic? で切り口を探す →Explore slices in Plurisubharmonic? →J.-P. Demailly, Complex Analytic and Differential Geometry, Chapter I, §4–5 (PDF)
03 / BEHIND THE FUNCTIONS
回答後の「数学的背景」から、ここに戻れます。元になる関数の性質と、符号変更・項の追加をした問題の正誤は、分けて確認してください。
The context cards after each answer link here. A construction's properties do not automatically carry over after changing signs or adding terms.
正で連続な u に対して、底面の各点 z に半径 u(z) の複素円板を置きます。底面が単位円板のとき、この Hartogs 領域 {|w|<u(z)} の擬凸性は −log u の劣調和性と同値。1枚のグラフが、複素2次元の領域を符号化します。
Over the unit disc, positive continuous u defines the Hartogs domain {|w|<u(z)}. Its pseudoconvexity is equivalent to subharmonicity of −log u. A graph of radii encodes a domain in ℂ².
緑陰図で領域を見る →View domains in Ryokuinzu →例えば |x| は x≠0 で2階微分が0ですが、x=0 に正の曲率が集中します。通常の微分がない場所も「測度」として数えるのが分布の考え方。max でつないだグラフを見るときの手がかりです。
For |x|, second derivatives vanish away from x=0, yet positive curvature is concentrated on the crease. Distributional derivatives capture it as a measure.
円周上の温度から内部の定常温度を決める Dirichlet 問題。Poisson 積分は円周のデータを重み付き平均して内部へ延長します。境界付近の激しい起伏と、内部での調和性は両立します。
The Dirichlet problem prescribes boundary temperatures and asks for the steady interior temperature. Poisson integration extends the data by weighted averaging. Steep boundary features coexist with interior harmonicity.
MIT 18.156, Lecture 2次数 d≥2 の多項式 P の逃避率は gP(z)=lim d−n log⁺|P∘n(z)|（log⁺t=max{0,log t}）。無限遠へ逃げない点の集合で0となり、その境界が Julia 集合です。有限反復の描画は近似であり、拡大して見える細部の精度には限界があります。
For a degree d≥2 polynomial, gP(z)=lim d−n log⁺|P∘n(z)|, with log⁺t=max{0,log t}, measures escape. It vanishes on the filled Julia set; its boundary is the Julia set. Finite iteration limits the precision of the image.
DeMarco & Pilgrim, §3 (PDF)ゲームの Σ0.55k(z/1.03)2k では、指数の間隔が急に広がります。収束円の内側では正則でも、円周のどこからも正則延長できない「自然境界」が生じます。実部が内部で調和であることとは矛盾しません。
In Σ0.55k(z/1.03)2k, rapidly separated exponents produce a natural boundary. The series is holomorphic inside its circle of convergence but cannot be continued through it. Its real part is still harmonic inside.
log|z−a| は点に集中したラプラシアン測度の基本例。−log(1−|z|²/R²) は円板の双曲幾何、log(Σ|fⱼ|²) は正則写像を通した射影空間の幾何に現れます。関数の複素 Hessian が、幾何を記述する係数になります。
Logarithmic potentials model point masses. The potentials −log(1−|z|²/R²) and log(Σ|fⱼ|²) connect to hyperbolic and projective geometry. Their complex Hessians encode geometric coefficients.
Bergman 核は、二乗可積分な正則関数全体から領域を調べる道具。擬凸な全空間をもつ族では、対角核の対数が多重劣調和に変動します（Berndtsson の定理）。ただし、非正則な動かし方で評価点を選ぶと、その結論は一般には引き継げません。
The Bergman kernel probes a domain through square-integrable holomorphic functions. Berndtsson's theorem gives plurisubharmonic variation of its logarithm for pseudoconvex families. Nonholomorphic evaluation paths need not preserve that property.
B. Berndtsson, Subharmonicity properties of the Bergman kernel…