Visualization gallery可視化ギャラリー
Here we share 3D VR visualizations and browser games for practising how to observe mathematical objects, developed through dialogue with AI. We describe the mathematics and the views we want in words and formulas, then discuss and refine what appears on screen. Our setup guide explains how to prepare the VR environment.
ここでは、AIと相談しながら制作した3D VR可視化と、数学的な対象を「見る」ためのブラウザゲームを紹介します。見たい数学と表示の希望を自然言語や数式で伝え、画面を見ながら相談と調整を重ねています。VRの環境づくりは、「ゼロから始める」で紹介しています。
The examples build on known mathematics and visualization ideas. We are sharing how mathematicians can try such views for themselves, not proposing new theorems or new 3D VR rendering algorithms. The individual pages and related work point to the earlier work that informed this exploration.
既知の数学や可視化の考え方をもとに、数学者が自分の見たいものを手軽に試すための制作過程と観察を共有することが主眼です。新しい定理や3D VRの描画アルゴリズムを提案するものではありません。参考にした先行例は、各ページと「関連する試み」で紹介しています。
Browser observation gamesブラウザで遊べる観察ゲーム
Kyoka Marui, Masakazu Takakura, Ryo Uchimoto and Takayuki Koike discussed what to observe in 3D VR, how to observe it and what we hoped to understand, with the aim of developing intuition in complex analytic geometry. These discussions led to the idea of games as an enjoyable way to practise connecting what we see with mathematical understanding.丸井 京香・髙倉 真和・内本 諒・小池 貴之の4名で、複素解析幾何の直観形成に向けて、3D VRで何をどう観察し、どのような理解を目指すかを議論しました。その議論から、見えたものを数学的な理解につなげるための「見る側の練習」を、ゲームで楽しく行うという発想が生まれました。
The four of us jointly developed these three browser games from this shared concept. Move graphs and slices, predict their properties, then compare your impression with the mathematical explanation. You can play in your browser without a VR headset.こうした議論と構想をもとに、4名で共同開発した3つのブラウザゲームです。グラフや切り口を動かし、性質を予想し、数学的な理由と見比べます。VRゴーグルがなくても、手元のブラウザで遊べます。
We asked Chapio-kun (ChatGPT) to write the code.コーディングは、ちゃぴおくん（ChatGPT）に依頼しました。 Meet the co-developers共同開発メンバー →
01 / Graphs & circlesグラフと円周
Lift a circle onto a function graph and compare it with the center. Predict subharmonicity, then explore the mathematical explanation.函数のグラフに円周を持ち上げ、中心との関係を観察。劣調和性を予想して、解答の理由と見比べます。
How does a graph’s apparent shape relate to subharmonicity?「くぼんで見える」と劣調和であることは、どうつながる？
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02 / Slices & complex directions切片と複素方向
Switch the roles of two complex planes to inspect coordinate slices. Explore oblique complex discs to investigate plurisubharmonicity.二つの複素平面の役割を切り替えて、切片のグラフを観察。斜めの複素円板も使い、多重劣調和性を探ります。
Do coordinate slices tell the whole story?座標ごとの切片だけで、全体の性質は見抜ける？
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03 / Moving slices & domains動く切り口と領域
Move a point in one complex plane and follow the domain’s slice in the other. A pseudoconvexity game inspired by Kiyoshi Oka’s ryokuinzu.一方の複素平面で点を動かし、もう一方に現れる領域の切り口を追う。岡潔の「緑陰図」に着想を得た擬凸性のゲームです。
How can moving slices help us picture a four-dimensional domain?変わり続ける切り口から、四次元の領域をどう捉える？
Play & explore遊んでみるNewest additions first新しい事例から
Draw a path in the first projection of \(\Omega\subset\mathbb C^2\), and stack its fibres in \(\mathbb C\times[0,1]\). Follow a line or a free path, and compare four example domains. Explore this Godot / 3D VR visualization through desktop images and videos.
\(\Omega\subset\mathbb C^2\) の第一射影に経路を描き、 そのファイバーを \(\mathbb C\times[0,1]\) に積み重ねます。 直線・自由経路と四つの例題を見比べるGodot／3D VR可視化を、 PC版の画像・動画で紹介します。
Read the visualization record 制作・観察記録を見る
Does the closure of a pseudoconvex domain have a basis of pseudoconvex neighbourhoods? We explore the worm, a classical counterexample, in 3D VR, with this question about its surroundings in mind.
擬凸領域の閉包には、擬凸な基本近傍系があるでしょうか。ワーム領域という古典的な反例を手掛かりに、閉包の近傍をイメージしながら、その形を3D VRで眺めます。
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How do the leaves fit together along a Levi-flat boundary? We compare a local model of a Nemirovski-type Levi-flat with a suspension based on the Diederich–Ohsawa example. Slices reveal traces near a compact leaf; base loops let us compare different monodromies.
Levi平坦な境界では、葉はどうつながるのでしょうか。Nemirovski型のLevi平坦の局所模型と、Diederich–Ohsawaの例を題材としたsuspensionを見比べます。断面ではコンパクトな葉の周りの軌跡を、底空間のループではモノドロミーの違いを眺めます。
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We begin with a real blow-up above a plane, inspired by the cover of Shafarevich’s Basic Algebraic Geometry. Alongside it, we try a view suggested by Chapio-kun: a Möbius band inside a solid torus representing a bounded part of \(q^{-1}(\mathbb{RP}^1)\), where \(q\) records direction. A Riemann-sphere display of the exceptional \((-1)\)-curve \(E\simeq\mathbb{CP}^1\) shows the selected direction. The page describes how these views were made and what the project lead is still working to understand.
Shafarevich『Basic Algebraic Geometry』の表紙を思わせる、下の平面とその上の実blow-upから始めました。横には、ちゃぴおくんから提案された、ソリッドトーラスの中にメビウス帯を置く表示を並べています。トーラスが表すのは、方向を記録する写像 \(q\) に対する \(q^{-1}(\mathbb{RP}^1)\) の有限範囲です。第一種例外曲線 \(E\simeq\mathbb{CP}^1\) はリーマン球面として表示します。制作の経緯とともに、研究代表が意図どおりに追えたことと、まだ見比べて考えていることを紹介します。
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We cut \(H_{\rho,r}\subset\mathbb C^2\) along a real line in the \(z\)-plane, keeping the whole \(w\)-plane. Translating and rotating the line lets us compare the small \(z\)-plane diagram with the 3D slice and its disk and annular fibres. We built the view with an introduction to Hartogs extension in mind, by explaining the mathematics and intended interaction to Chapio-kun and reusing the common VR foundation.
ハルトークス図形 \(H_{\rho,r}\subset\mathbb C^2\) を、\(z\) 平面の実直線で切り、\(w\) 平面を丸ごと残した3D断面として表示します。直線を平行移動・回転させ、小さな \(z\) 平面の図と、円板・円環になるファイバーを見比べます。ハルトークス拡張の導入を念頭に、何を残して見たいかをちゃぴおくんに伝え、共通のVR基本構成を使って作りました。
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While building the elliptic-curve visualization, we separated OpenXR initialization, view-relative movement, controller input, parameter handling and the HUD from the mathematics-specific visualization code. The aim is to keep this common layer and replace mainly the visualization module when we move on to a new mathematical object, rather than rebuilding the VR environment from scratch.
楕円曲線の可視化を作る過程で、OpenXRの初期化、視線方向に沿った移動、左右コントローラーの入力、パラメータ操作、HUDなどを、数学ごとの可視化コードから切り離しました。次に別の数学的対象を見たくなったとき、VR環境を一から作り直すのではなく、この共通部分を残して、主に可視化モジュールだけを載せ替えるための土台です。
See the common VR foundationVR基本構成を見る
For the plane cubic \(E:=\{(z,w)\in\mathbb{C}^2\mid w^2=z(z-1)(z-2)\}\), we draw in white the real curve obtained, for each \(c\in\mathbb{R}\), by imposing \(\operatorname{Im}w=c\), viewed inside \(\mathbb{R}^3=\mathbb{C}_z\times\mathbb{R}_{\operatorname{Re}w}\). As \(c\) is varied with the controller, the resulting family of slices is displayed together in a red-to-blue gradient, allowing us to observe how the curves connect and change as a family. With a single controller button, we can also switch to the analogous family obtained by fixing \(\operatorname{Im}z\) instead of \(\operatorname{Im}w\). At the same time, the corresponding white curve is drawn in real time on a torus, helping us explore how genus \(1\) can be made visually perceptible and develop intuition for the genus formula.
平面三次曲線 \(E:=\{(z,w)\in\mathbb{C}^2\mid w^2=z(z-1)(z-2)\}\) に対し、各 \(c\in\mathbb{R}\) について \(\operatorname{Im}w=c\) で得られる \(\mathbb{R}^3=\mathbb{C}_z\times\mathbb{R}_{\operatorname{Re}w}\) 内の実曲線を白色で描きます。 さらに \(c\) をコントローラーで動かしながら、その切断族を赤から青へのグラデーションで重ねて表示することで、全体のつながり方を観察しています。 固定する座標を \(\operatorname{Im}w\) から \(\operatorname{Im}z\) に替えた切断族にも、コントローラーのボタン一つで切り替えられるようにしました。 また、対応する白い曲線をトーラス上にもリアルタイムで描画し、種数 \(1\) がどのように「見える」のかを観察することで、種数公式を視覚的に捉えるための直観につなげることを目指しています。
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